Линейное уравнение с одной переменной (В.А. Тарасов)

Основные определения, истоки уравнения

Определение

Линейным уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида:

.

Здесь  – искомая неизвестная,  и  – коэффициенты, параметры.

Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться в том, что решений нет.

Определение

Корень уравнения – это такое значение , при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Линейное уравнение  описывает равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью:

 – путь равен произведению скорости и времени.

Если перенести все слагаемые в одну сторону, получим:

.

Выполним переобозначение:

.

Получим изучаемое линейное уравнение.

Решение уравнений в общих и частном случаях

Пример 1:

Прибавим три к обеим частям уравнения – при этом равенство не изменится:

.

Разделим обе части на два:

.

Ответ: .

Комментарий: наша главная цель – найти , для этого мы выполняем одинаковые преобразования над обеими частями уравнения.

Решим уравнение в общем виде:

.

Отнимем в обеих частях число :

.

Поскольку  имеем право обе части поделить на :

.

Вывод: при  линейное уравнение имеет единственный корень: .

Рассмотрим случай, когда :

.

Уравнение имеет бесчисленное множество решений, любое действительное  удовлетворяет уравнению

.

Решений нет.

Так, в общем случае уравнение  имеет решение:

При .

При   – любое число, бесчисленное множество решений.

При  решений нет.

В рассматриваемое линейное уравнение неизвестное  входит в первой степени, поэтому такое уравнение носит название уравнения первой степени, к нему сводятся многие другие уравнения.

Пример 2:

.

Используя свойства уравнения, имеем право перенести слагаемое из правой части урвнения в левую с противоположным знаком или слагаемое из левой части - в правую тоже с противоположным знаком. Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на два:

.

Ответ: .

Пример 3:

.

Раскроем скобки:

.

Прибавим пять к обеим частям уравнения:

.

Поделим обе части на два:

.

Очевидно, что решением данного уравнения может быть любое число.

Ответ: уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Пример 4:

.

Раскроем скобки:

Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Получено неверное числовое равенство.

Ответ: решений нет.

Решение текстовых задач

Пример 5: решить задачу.

Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза моложе дедушки?

Решение: пусть папе  лет. Поскольку дедушка в два раза его старше, ему  лет. Тогда имеем уравнение:

.

Поделим обе части на три:

.

Так, папе 37 лет. Тогда дедушке  года.

Ответ: папе 37 лет, дедушке 74 года.

Пример 6

При каком значении  значение выражения  в три раза больше значения выражения ?

Решение

Если первое выражение в три раза больше второго, имеем право второе умножить на три и приравнять:

.

Раскроем скобки:

.

Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на минус семь:

.

Ответ: при  первое заданное выражение в три раза больше второго.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели линейное уравнение с одной переменной и выяснили его специфику. Такое уравнение может иметь одно решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. Решить уравнения:
   а) ; б) ; в) ; г) .
2. Решить уравнения:
   а)
3. в) ; г) .
4. Первое число в пять раз больше второго и два раза меньше третьего. Сумма чисел составляет 80. Найдите заданные числа.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Социальная сеть работников образования (Источник).