Пример 4 – найти три делителя многочлена:

.

Первым делителем будет одночлен ; данный многочлен делится на , так как все его члены содержат в какой-то степени, и минимальная степень – первая.

Вторым делителем возьмем ; мы уже объяснили, что многочлен делится на , теперь скажем, что каждый одночлен, а значит и многочлен, делится на любое число, значит, делится на . Итак, многочлен делится на оба множителя одночлена, значит, делится на одночлен.

Третьим делителем возьмем число . В предыдущем пункте мы сказали, что многочлен можно разделить на любое число.

Самое главное в таком типе задач – минимальная степень переменной в числителе, так как на любую степень, меньшую или равную минимальной, делить можно, а на большую – нет.

Пример 5 – найти пять неподобных делителей:

.

Напомним, что неподобные одночлены отличаются буквенной частью.

В каждом члене многочлена есть множитель в какой-нибудь степени, значит, многочлен можно разделить на .

Кроме того, в каждом члене есть множитель , значит, можно разделить на .

Кроме того, поскольку минимальная степень b – вторая, многочлен можно поделить на .

Очевидно, что можно поделить и на , так как минимальная степень – четвертая.

И, конечно, можно поделить на , так как на оба множителя в отдельности можно поделить, а значит и на произведение можно поделить.

Ответ: выбраны следующие неподобные делители , , , , .

Пример 6 – выбрать среди набора одночленов делители заданного многочлена:

.

Дан набор одночленов:

, , , , .

Поскольку минимальная степень в многочлене – первая, то одночлены , , не являются делителями многочлена, так как в них степень больше.

Минимальная степень – также первая, значит, одночлен тоже не является делителем.

Остался только одночлен , он может быть делителем заданного многочлена, так как все члены многочлена содержат и как минимум в первой степени.

Ответ: из набора одночленов только является делителем заданного многочлена.

Вывод: на этом уроке мы сформулировали правило деления многочлена на одночлен и выполнили ряд различных примеров. В дальнейшем наработанная техника станет основой для изучения более сложных тем.