Деление многочлена на одночлен

Напоминание правила деления одночлена на одночлен

Напомним, что многочлен – это сумма одночленов, и всю эту сумму нужно разделить на некоторый одночлен. Мы умеем делить одночлен на одночлен. Вспомним, на чем базируется деление одночленов. Во-первых, это деление степеней:

,

.

Кроме того, мы опирались на свойство деления:

.

Пример 1:

.

Формулировка правила деления многочлена на одночлен

Итак, теперь, чтобы делить сумму одночленов на один одночлен, нам нужен третий опорный факт:

 – чтобы сумму чисел разделить на число, нужно каждое слагаемое разделить на это число.

На основании трех приведенных выше базовых правил мы можем делить многочлен на одночлен, для этого мы должны каждый член многочлена разделить на одночлен, результат алгебраически сложить.

Решение простейших примеров

Рассмотрим примеры.

Пример 2:

.

Комментарий: чтобы решить данный пример, мы, согласно правилу, разбили дробь на сумму дробей, то есть каждый член многочлена поделили на одночлен, между дробями поставили соответствующий знак – алгебраически сложили, после по правилу поделили одночлен на одночлен и получили в результате двучлен.

Иногда применяется другая форма записи:

.

Комментарий: в данном случае в числителе в каждом члене одночлена выделяют множитель, на который выполняется деление, а затем аналогично первому способу разбивают дробь ну сумму дробей и выполняют деление.

Пример 3:

.

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему: деление многочлена на одночлен заменяется алгебраической суммой дробей: каждый член многочлена отдельно делится на одночлен, и получаем результат, в данном случае двучлен.

Решение примеров на поиск делителей многочлена

Пример 4 – найти три делителя многочлена:

.

Первым делителем будет одночлен ; данный многочлен делится на , так как все его члены содержат  в какой-то степени, и минимальная степень – первая.

Вторым делителем возьмем ; мы уже объяснили, что многочлен делится на , теперь скажем, что каждый одночлен, а значит и многочлен, делится на любое число, значит, делится на . Итак, многочлен делится на оба множителя одночлена, значит, делится на одночлен.

Третьим делителем возьмем число . В предыдущем пункте мы сказали, что многочлен можно разделить на любое число.

Самое главное в таком типе задач – минимальная степень переменной в числителе, так как на любую степень, меньшую или равную минимальной, делить можно, а на большую – нет.

Пример 5 – найти пять неподобных делителей:

.

Напомним, что неподобные одночлены отличаются буквенной частью.

В каждом члене многочлена есть множитель  в какой-нибудь степени, значит, многочлен можно разделить на .

Кроме того, в каждом члене есть множитель , значит, можно разделить на .

Кроме того, поскольку минимальная степень b – вторая, многочлен можно поделить на .

Очевидно, что можно поделить и на , так как минимальная степень  – четвертая.

И, конечно, можно поделить на , так как на оба множителя в отдельности можно поделить, а значит и на произведение можно поделить.

Ответ: выбраны следующие неподобные делители , , , , .

Пример 6 – выбрать среди набора одночленов делители заданного многочлена:

.

Дан набор одночленов:

, , , , .

Поскольку минимальная степень  в многочлене – первая, то одночлены , ,  не являются делителями многочлена, так как в них степень  больше.

Минимальная степень  – также первая, значит, одночлен  тоже не является делителем.

Остался только одночлен , он может быть делителем заданного многочлена, так как все члены многочлена содержат  и  как минимум в первой степени.

Ответ: из набора одночленов только  является делителем заданного многочлена.

Вывод: на этом уроке мы сформулировали правило деления многочлена на одночлен и выполнили ряд различных примеров. В дальнейшем наработанная техника станет основой для изучения более сложных тем.

Домашнее задание

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).
3. Интернет-портал Fizmat.by (Источник).

 

Домашнее задание

1. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 284, с. 111.
2. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 288, с. 111.
3. среди группы одночленов найти делители заданного многочлена: а); , , , , ; б);  , , .