Умножение одночленов, возведение в натуральную степень

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Умножение одночленов, возведение в натуральную степень

В данном уроке мы рассмотрим операции умножения и возведения одночленов в натуральную степень, выясним, с какими одночленами можно выполнять эти действия. Вспомним правило возведения степени в степень. Научимся решать некоторые типовые задачи, а именно на упрощение выражений, на возведение в степень и обратную к этому задачу.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Умножение одночленов, возведение в натуральную степень

1. Разъяснение операции умножения и возведения в натуральную степень

Из предыдущих уроков мы запомнили, что можно складывать и вычитать одночлены, но только подобные, а вот умножать и возводить в натуральную степень можно любые одночлены. Выясним, почему это возможно, рассмотрев примеры.

Пример 1: . Данный одночлен приведен к стандартному виду. Что же значит умножить его на другой одночлен?

;

И умножить все это на третий одночлен:

;

В результате мы получили одночлен – произведение чисел и степеней, в не стандартном виде. Отсюда следует, что умножать можно любые одночлены.

Приведем полученный одночлен к стандартному виду:

;

Поскольку возведение в степень это, по сути, умножение одночлена на себя какое-то количество раз, а умножать можно любые одночлены, мы имеем полное право возводить одночлены, причем снова любые, в натуральную степень.

2. Примеры

Разберем примеры.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Комментарии к примерам 1-3: при умножении двух и более одночленов результатом является новый одночлен не стандартного вида, поэтому, чтобы выполнить операцию умножения, нужно только привести этот новый одночлен к стандартному виду.

Рассмотрим примеры на возведение одночлена в степень.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

3. Краткие выводы по операциям умножения и возведения в степень

Комментарии к примерам 1-4: при возведении одночлена в степень необходимо сначала возвести в степень его коэффициент, а потом буквенную часть. Для этого следует вспомнить правило возведения степени в степень, а именно, что показатели степеней перемножаются. Кроме того, при решении примеров 3 и 4 следует вспомнить, что «-1» в любой четной степени даст «1», а в нечетной – «-1».

4. Решение прямой и обратной задач на возведение одночлена в степень

Рассмотрим типовые задачи:

Пример 1: и

Поскольку «2» - это натуральная степень, а мы можем возводить одночлен в любую натуральную степень, выполним первое действие:

;

Для решения второго действия нужно вспомнить, что любое число в нулевой степени это единица, при условии, что это число не ноль, так как не имеет смысла, то есть, мы имеем право написать:

;

Пример 2: вместо знака «*» поставить такой одночлен, чтобы равенство выполнялось:

;

Коэффициент в левой части пока равен трем, а в правой – девяти, значит, в левой части не хватает тройки; переменная b в левой части стоит во второй степени, а в правой в третьей, значит левую часть нужно умножить на b в первой степени:

;

Рассмотрим следующую типовую задачу. Представить данный одночлен в виде квадрата некоторого одночлена:

Пример 1: ;

Нужно определить, какой одночлен возвести в квадрат, чтобы получить заданный.

Чтобы получить 81, нужно 9 возвести в квадрат, то есть коэффициент искомого одночлена 9.

Чтобы получить , нужно возвести в квадрат, итак, мы имеем:

;

Но возникает вопрос, однозначен ли данный нами ответ? Можно ли подобрать другой такой одночлен, который при возведении в квадрат даст заданный одночлен?

Для ответа на этот вопрос вспомним, что , то есть существует еще один одночлен, которые при возведении в квадрат даст нам заданный – это .