Числовые и алгебраические выражения, математические модели

Напоминание теоретических сведений

Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий. Если же вместо чисел употребляют буквы, то получают алгебраическое выражение. Важнейшая типовая задача и для числовых, и для алгебраических выражений – это упрощение. Рассмотрим пример:

Решение примера на упрощение выражения

Пример 1:

Первым действием является сложение в скобках. Но выполнять сложение сразу не очень удобно, так как в первой скобке стоят не самые простые десятичные дроби, поэтому нужно подумать, как удобнее выполнить данное действие. Несложно заметить, что при сложении первого числа с третьим получится круглое число, как и при вычитании из второго числа четвертого. Выполним действие:

Таким образом, наше выражение теперь выглядит так:

Теперь выполним вычитание дробей во второй скобке, напомним, что для этого дроби нужно привести к общему знаменателю. Пользуясь основным свойством дроби, умножим числитель и знаменатель первой дроби на три:

Перепишем исходное выражение:

Далее упростим числитель, в котором теперь число умножается на дробь, напомним, что при этом число умножают на перевернутую дробь, и, если есть возможность, выполняется сокращение дроби:

Исходное выражение приобретает вид:

Последнее действие – сократить полученную дробь, для этого выполним некоторые преобразования:

Но не всегда нам задано алгебраическое выражение, часто бывает нужно текстовую задачу перевести на математический язык и в результате получить необходимое выражение.

Пример 2: при каком значении k выражение  в два раза меньше, чем

Итак, у нас есть два выражения и соотношение между ними. Составим уравнение:

По существу, мы получили математическую модель – линейное уравнение с одной неизвестной. Решим его:

Ответ: при  выражение  в два раза меньше, чем .

Решение текстовых задач

Пример 3: на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении. Остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?

Примем количество учеников за n, при чем , то есть является натуральным числом. Запишем количество учеников Пифагора:  – те, которые изучают математику – те, кто изучают природу  - те, кто проводят время в размышлении и  девы.

Найдем суммарное количество учеников Пифагора:

Таким образом, мы получили математическую модель – линейное уравнение с одной неизвестной. Найдем его корень:

Ответ: у Пифагора было 28 учеников.

Напомним, что математическое моделирование включает три этапа – составление математической модели, работа с математической моделью, ответ на вопрос, поставленный в задаче.

Пример 4: спросил некто у учителя: «Скажи, сколько у тебя учеников, так как я хочу отдать тебе в ученье сына». Учитель ответил: «Если придут еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть и твой сын, то будет у меня сто учеников». Сколько было у учителя учеников?

Этап 1: пусть у учителя было х учеников, причем х – число натуральное; опишем количество учеников выражением:

Было  учеников, придет еще столько – то есть , еще полстолько – , и четвертая часть –   и еще , то будет . Запишем уравнение:

Математическая модель составлена.

Этап 2: приведем в левой части уравнения подобные члены, все свободные члены перенесем вправо и приведем подобные там, из элементарного уравнения найдем х:

Разделим обе часть уравнения на 11:

Умножим обе части на 4:

Этап 3: в задаче спрашивалось, сколько учеников было у учителя, мы получили , за х было принято количество учеников, таким образом, у учителя было 36 учеников.

Выводы по уроку

Вывод: на данном уроке мы вспомнили понятие числового и алгебраического выражения, выполнили пример на упрощение выражения, решили несколько текстовых задач методом математического моделирования.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Математическое моделирование (Источник).

 

Домашнее задание

1. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №7, ст. 11;
2. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №16, ст. 16;
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №41, ст. 28.