Формулы сокращённого умножения

Тема: Повторение курса алгебры 7-го класса

Урок: Формулы сокращенного умножения

1. Основные формулы сокращенного умножения

Вспомним предназначение и смысл формул сокращенного умножения. Ранее мы изучали и повторили достаточно трудоемкую операцию умножения многочленов, ее сложность заключается в том, что многочлен – это сумма одночленов, и для умножения нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. В результате получаем достаточно большой многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Формулы сокращенного умножения как раз упрощают операцию умножения многочленов.

Приведем некоторые формулы:

 – квадрат суммы (разности);

 – разность квадратов;

 – разность кубов;

 – сумма кубов;

 называют неполным квадратом суммы;

 называют неполным квадратом разности;

Отличие последних двух выражений от полного квадрата состоит в том, что в полном квадрате есть удвоенное произведение выражений, а в неполном – просто их произведение.

2. Упрощение выражений различной сложности

Чтобы вывести данные формулы, нужно перемножить скобки по правилу умножения многочленов, и мы увидим справедливость записанных равенств.

Упомянем типовые ошибки:

Считают, что  – данное равенство неверно! Чтобы избежать подобной ошибки, выведем формулу квадрата суммы геометрически:

Рассмотрим квадрат со стороной :

 – площадь квадрата;

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

;

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

 

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Рассмотрим применение формул сокращенного умножения.  Они применяются в самых разнообразных задачах, и основная сложность заключается в том, чтобы увидеть, что есть а и что есть b. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, то есть это могут быть любые выражения.

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Очевидно, что перед нами квадрат разности, здесь , , распишем по формуле:

Пример 2:

Очевидно, что перед нами разность квадратов, здесь , , распишем по формуле:

Рассмотрим случаи, когда в одном выражении нужно применить несколько формул.

Пример 3:

Несложно заметить, что первые две скобки можно свернуть как разность квадратов:

Полученное выражение также представляет собой разность квадратов. Свернем его:

Пример 4:

Если не применять формулы сокращенного умножения, то умножение данных трехчленов будет весьма трудоемким, но мы все-таки обратим внимание, что первая скобка представляет собой квадрат разности, а вторая – квадрат суммы:

Теперь можем квадрат вынести за скобки, пользуясь соответствующим свойством степеней, ведь в квадрат возводятся оба выражения:

Очевидно, что в скобках стоит разность квадратов, свернем ее по формуле:

Теперь можем легко раскрыть скобки по формуле квадрата разности:

Пример 5:

Непосредственное перемножение скобок будет очень трудоемким, формулы сокращенного умножения резко сокращают процесс:

Первая пара скобок есть разность квадратов, свернем ее:

Теперь снова первые две скобки можно свернуть по формуле разности квадратов:

И еще раз можно увидеть формулу разности квадратов:

Последний раз свернем разность квадратов:

3. Доказательство кратности и уравнение

Существует обратная задача – разложить многочлен на множители, она решается также с помощью формул сокращенного умножения.

Пример 6: доказать что число  кратно 25:

Очевидно, что если мы будем выполнять все вычисления, это будет сложно и долго, но если заметить формулу, то работа значительно упрощается. Итак, мы видим разность кубов. Распишем выражение:

В результате преобразований мы получили выражение, один из множителей которого равен 25, очевидно, что это выражение кратно 25.

Пример 7: решить уравнение:

Напомним, что решить уравнение – означает найти такие значения х, которые обращают выражение в верное числовое равенство. Распишем в уравнении квадрат суммы и разность квадратов:

Соберем неизвестные слева, а свободные члены справа и приведем подобные:

Из полученного элементарного уравнения найдем значение х:

Запишем еще несколько формул, которые можно вывести:

 – куб суммы (разности)

Чтобы вывести данные формулы, нужно выполнить умножение скобок, и вы убедитесь в их справедливости.

4. Итоги урока

Вывод: мы рассмотрели формулы сокращенного умножения, записали вид основных из них и некоторые доказали. Мы рассмотрели примеры различной сложности, чтобы окончательно закрепить данный материал.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).
3. Школьный помощник (Источник).
4. Школьный помощник (Источник).
5. ЕГЭ по математике (Источник).

 

Домашнее задание

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №874, ст. 165;
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №911, ст. 171;
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №937, ст. 177.