Чтобы вывести данные формулы, нужно перемножить скобки по правилу умножения многочленов, и мы увидим справедливость записанных равенств.

Упомянем типовые ошибки:

Считают, что – данное равенство неверно! Чтобы избежать подобной ошибки, выведем формулу квадрата суммы геометрически:

Рассмотрим квадрат со стороной :

– площадь квадрата;

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

;

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Рассмотрим применение формул сокращенного умножения. Они применяются в самых разнообразных задачах, и основная сложность заключается в том, чтобы увидеть, что есть а и что есть b. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, то есть это могут быть любые выражения.

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Очевидно, что перед нами квадрат разности, здесь , , распишем по формуле:

Пример 2:

Очевидно, что перед нами разность квадратов, здесь , , распишем по формуле:

Рассмотрим случаи, когда в одном выражении нужно применить несколько формул.

Пример 3:

Несложно заметить, что первые две скобки можно свернуть как разность квадратов:

Полученное выражение также представляет собой разность квадратов. Свернем его:

Пример 4:

Если не применять формулы сокращенного умножения, то умножение данных трехчленов будет весьма трудоемким, но мы все-таки обратим внимание, что первая скобка представляет собой квадрат разности, а вторая – квадрат суммы:

Теперь можем квадрат вынести за скобки, пользуясь соответствующим свойством степеней, ведь в квадрат возводятся оба выражения:

Очевидно, что в скобках стоит разность квадратов, свернем ее по формуле:

Теперь можем легко раскрыть скобки по формуле квадрата разности:

Пример 5:

Непосредственное перемножение скобок будет очень трудоемким, формулы сокращенного умножения резко сокращают процесс:

Первая пара скобок есть разность квадратов, свернем ее:

Теперь снова первые две скобки можно свернуть по формуле разности квадратов:

И еще раз можно увидеть формулу разности квадратов:

Последний раз свернем разность квадратов: