Обсуждение, зачем математикам понадобилась степень
Откуда появилась степень.
Выражение а+а+а в математике можно заменить на а+а+а=3а.
Выражение а+а+а+а+а можно представить в виде а+а+а+а+а=5а.
То есть, если в выражении n одинаковых слагаемых, каждое из которых а, то его можно кратко записать na. 
А умножение 
, можно кратко записать так: а3, читается: а в кубе или третья степень числа а.
– а в пятой степени или пятая степень числа а.
А если в выражение n одинаковых сомножителей, каждый из которых а, то мы будем писать:
= an – n-ная степень числа а.
Определение степени
Определение. Степенью an называется произведение n одинаковых сомножителей, 
, где n- натуральное число n={2,3,…..}; а – любое число.
Терминология
Терминология: an
а – основание степени,
n – показатель степени,
an– степень, или а в n-ой степени, или n-ая степень числа а.
Решение типовых задач на определение степени
Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.
1. 
– это по определению 4 в кубе или третья степень числа 4, 4- основание степени, 3- показатель степени. Результат:
Ответ: 64
2. 
– по определению, это x в четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что x нужно присвоить конкретное значение.
Ответ: 
3. 
Это
в пятой степени, – это основание степени, 5 – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишем это выражение по-другому:
Значит, выражение 
.
Ответ: .
4. 
– это
в кубе, 3 – это показатель степени, – основание степени.
Ответ: 
5. 
– вторая степень числа 13 , 
– вторая степень числа 5.
Ответ: 4225
6. 
– третья степень числа 2, 
– вторая степень числа 3.
Ответ: 72
Примеры на вычисление степени с различными показателями
В степени an может отдельно меняться показатель степени или основание степени.
Пример 2: Вычислить 
, если
a) n=2
b) n=3
c) n=4
Решение:
a) 
так как стоит четная степень, минус пропадает.
b) 
c) 
– так как стоит четная степень, минус пропадает.
Ответ: a) 25; b)-125; c)625;
В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.
Примеры на вычисление степени с различными основаниями
Пример 3: Вычислить: b4, где
a) b=1
b) b=-3
c) b=
d) b=
Ответ:
a) 
b) 
c) 
Определение степени с показателем 1
Вспомним, что натуральные числа - это 1,2,3 и так далее.
n={1,2,3,…..}
По нашему определению:
an = , (1)
n={2,3,…..}
Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а1?
a1=a (2)
Примеры степеней с показателем 1
Пример.
()1=
)
(-2)1=-2
31=3.
Итак, теперь мы знаем, что такое an, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.
Геометрические задачи, в которых участвует степень
Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.
Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а, где
a) а=3 см
b) а=7 см
c) а=1,5 см
Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а2 или вторая степень числа а.
S=a2
Ответ:
S=32=9 см2
S=72=49 см2
S=1,52=2,25 см2
Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.
Задачи на вычисление
И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.
Вычислить:
a) 
Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.
b) Вычислить при а=1 следующее выражение:
а2=12=1
а3=13=1
При а=-1 будет чуть посложнее:
а2=(-1)2=1
а3=(-13)=-1
а4=(-1)4=1
и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.
Подведение итогов урока
Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию аn, где n – это показатель степени, а – основание степени, n – натуральное число, а – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.
Список рекомендованной литературы
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
Рекомендованное домашнее задание
1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.
а) 
б)
в) 
2. Вычислить (-2)n, если
а) n=2 б) n=3 в) n=4
3. Вычислить: а5, где
а) а=1
б) а=-2
в) а=
4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а/2, где
а) а=6 см
б) а=8 дм
в) а=3 м
