Эквивалентные преобразования для упрощения выражений
Многие задачи в современном мире решаются с использованием большого количества компьютерных вычислений. Скорость вычислений напрямую зависит от эффективности алгоритма, который использует компьютер. Чем меньше операций нужно выполнить для решения конкретной задачи, тем эффективнее алгоритм. Чтобы вычислить значение следующего выражения, нужно сделать 
операций:
А значение выражения 
можно найти, выполнив всего лишь одну. Но, оказывается, исходное выражение эквивалентно выражению (при условии, что 
):
Это значит, что с помощью эквивалентных преобразований его можно упростить и привести к виду . В этом мы сейчас убедимся, изучив технику преобразования дробно-рациональных выражений.
Работа любого механизма – будь то часы, смартфон или крупная корпорация – всегда зависит от работоспособности составляющих его частей. Точность механических часов обеспечивается слаженной работой всех шестерёнок, и если хотя бы одна из них будет с дефектом, то весь механизм окажется бракованным. При этом по отдельности любая из шестерёнок кажется бесполезной – по ней время не определишь.
Похожая ситуация может возникнуть и при изучении математики: многие уроки и даже целые темы могут по отдельности казаться ненужными и бесполезными. Но не стоит забывать, что всё это – составляющие единого механизма, который позволяет нам решать множество прикладных задач: от бытовых до экономических и технологических.
Математической моделью для решения многих задач являются уравнения или их системы. Для того чтобы решать уравнения (причём решать быстро и эффективно – о чём мы только что говорили), нужно уметь упрощать различные математические конструкции. Мы уже умеем работать с многочленами: приводить подобные слагаемые, раскладывать на множители, работать с формулами сокращённого умножения. Всё это мы научились применять для упрощения целых алгебраических выражений, т.е. выражений, которые могут содержать операции сложения, вычитания и умножения чисел и переменных, а также операцию деления на число. Например:
Действия с дробями
Сегодня мы поговорим о том, как упрощать дробно-рациональные выражения. Они отличаются от целых выражений тем, что содержат операции деления на переменные. Например:
Как упрощать такие выражения? Для выполнения любой задачи нужна чёткая последовательность действий – алгоритм. Конечно, можно действовать наугад, как при поиске выхода из лабиринта. Но, чтобы выйти наверняка, лучше подыскать верный алгоритм – например, идти так, чтобы правая рука не отрывалась от стенки.
Для работы с выражениями, содержащими дроби, вы уже знаете все необходимые алгоритмы:
1. Сокращение дробей – дробь можно упростить, разложив на множители её числитель и знаменатель и сократив одинаковые множители:
2. Для сложения и вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю:
3. Для умножения двух дробей нужно перемножить их числители и знаменатели:
Соответственно, при возведении дроби в степень необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель:
4. Деление дробей – чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить его на обратную дробь:
Эти алгоритмы можно применить и для дробей, содержащих переменные. При этом нам понадобятся уже полученные навыки действий с многочленами (в частности, разложения многочленов на множители).
ОДЗ
Вспомнив, как работать с обычными дробями и многочленами, вы без труда справитесь с упрощением дробно-рациональных выражений. Естественно, мы ещё потренируемся делать это на конкретных примерах. Но прежде обратим внимание на важный момент.
Работая с любым объектом, нужно знать границы его применимости. Для этого и существуют инструкции. В инструкциях к лекарственным препаратам, например, указывают, в каких ситуациях их следует применять, а в каких, наоборот, категорически запрещено.
Можно привести и более близкий к математике пример: нельзя сложить принципиально разные величины – 
кг и 
см. Точнее, сложить можно, только вот результат вряд ли будет нести для нас какой-то смысл.
Если говорить о числах, то сложить, вычесть или умножить можно любые два действительных числа – в результате снова получится действительное число. Поэтому при работе с целыми алгебраическими выражениями у нас не возникало никаких ограничений, переменные могли принимать любые значения. При этом даже если в выражении встречалось деление (например, 
), то, по определению целого выражения, в знаменателе стояло конкретное число (не переменная) и мы точно знали, что оно не будет равняться 
.
Действительно, деление – операция с ограничением: деление на 
не определено. В дробно-рациональных выражениях в знаменателе может встречаться переменная. Поэтому при каких-то значениях переменной знаменатель выражения может обратиться в , т.е. выражение при таком значении переменной будет не определено, его значение нельзя будет вычислить. Например, в выражении 
переменная 
может принимать любые значения, кроме , поскольку при 
знаменатель обращается в и значение выражения найти нельзя.
Все значения переменной, при которых выражение будет определено (можно вычислить его значение), называются областью допустимых значений (сокращённо – ОДЗ).
В нашем примере ОДЗ: 
.
Пока единственным источником недопустимых значений переменных (которые не войдут в ОДЗ) для нас будут только знаменатели дробей, которые входят в выражение – они не должны равняться . В дальнейшем мы встретим и другие ограничения на значения переменных, которые встречаются в различных алгебраических выражениях.
Чтобы после упрощения получилось выражение, эквивалентное исходному, необходимо, чтобы ОДЗ переменных в обоих выражениях была одинаковой. Рассмотрим подробнее на примере.
Пример 1. Упростить выражение:
Решение
Знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. ОДЗ: 
.
Упростим выражение (вспомним ФСУ: 
):
После упрощения мы получили, на первый взгляд, эквивалентное выражение. Кажется, что переменная может принимать любые значения. Но давайте подставим в оба выражения 
. Поскольку они эквивалентны, мы должны получить один и тот же результат:
В чём же дело, почему результаты разные? А дело в том, что ОДЗ должна остаться неизменной. Т.е., получив выражение
, нужно ещё указать, что . Поэтому не забывайте об ОДЗ при упрощении дробно-рациональных выражений и решении соответствующих уравнений.
Ответ: 
.
Сокращение дробно-рациональных выражений
Как мы уже упоминали, для упрощения выражения с дробями можно использовать 
основные действия:
- сокращение дроби,
- сложение/вычитание дробей,
- умножение и возведение дробей в степень,
- деление дробей.
Давайте вспомним, как нужно поступать с обыкновенными дробями в каждом из этих случаев, и применим эти же алгоритмы для дробно-рациональных выражений.
Алгоритм действий при сокращении числовой дроби:
a. разложить числитель и знаменатель на простые множители,
b. сократить одинаковые множители.
Пример:
Другой способ сокращения дроби
Возможно, вы задались вопросом: зачем раскладывать на простые множители? Можно ведь увидеть, что оба числа чётные, и сократить дробь на : 
.
Дальше заметим, что оба числа делятся на 
, это уже видно и из таблицы умножения. Сократив на , получим: 
.
Снова числа чётные, сократив на , получим всё тот же ответ: 
.
Да, такой способ решения возможен. Но это подбор: по некоторым признакам угадывать, на что можно сократить дробь. Во-первых, для такого подхода нет алгоритма (вспомните пример с выходом из лабиринта наугад и по определённой схеме), а во-вторых, нет гарантии, что таким образом мы сможем максимально сократить дробь. Чтобы прийти к конечной цели, нужен чёткий алгоритм. Разложение на простые множители и дальнейшее сокращение как раз являются шагами такого алгоритма.
При работе с дробно-рациональными выражениями необходимо разложить числитель и знаменатель на простые множители. Но не в том смысле, что это будут простые числа, а в том, что полученные множители должны быть как можно проще, т.е. многочленами как можно меньшей степени.
Мы много тренировались раскладывать многочлены на множители и вот теперь сможем применить эти навыки для упрощения дробно-рациональных выражений. Если забыли, как выносить общий множитель, группировать слагаемые или применять ФСУ, то рекомендуем посмотреть урок (Разложение многочленов на множители).
Пример 2. Сократить дробь 
.
Решение
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
В числителе можно увидеть разность квадратов и использовать ФСУ:
Мы уже разложили числитель на множители. Получились многочлены второй степени. Можно ли их упростить и получить произведение многочленов первой степени? Первый множитель разложить не удаётся, а вот во втором снова можно увидеть формулу сокращённого умножения (ФСУ). Тогда 
.
Перейдём к знаменателю. В нём можно увидеть другую ФСУ – полный квадрат суммы 
:
Получаем:
Видим одинаковые множители 
в числителе и знаменателе, на них можно сократить:
Задание почти выполнено. Нам осталось проверить, что ОДЗ исходного и полученного выражений совпадает. Действительно, в знаменателе исходного выражения:
И в знаменателе полученного выражения: 
. То есть полученное выражение действительно эквивалентно исходному.
Ответ: 
.
Чаще всего в задачах на упрощение дробно-рациональных выражений делается оговорка: «упростить выражение при всех допустимых значениях переменных». Это означает, что можно заниматься только эквивалентными преобразованиями, не обращая внимания на ОДЗ, подразумевается, что переменные ограничены общим ОДЗ как для исходного, так и для упрощённого выражения. В дальнейшем, если не оговорено иное, в этом уроке мы будем упрощать выражения при всех допустимых значениях переменных.
При поиске одинаковых множителей нужно быть внимательным, ведь слагаемые в них могут быть переставлены местами. Попробуйте найти одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби: 
.
Нашли? Действительно, 
, так что эти два множителя одинаковые и их можно сократить:
Кроме того, множители могутотличаться знаком. Так говорят о выражениях, в одном из которых можно заменить знаки на противоположные и получить второе выражение. Например, 
и 
. Переставив слагаемые во втором множителе местами, получим:
. Если заменить все знаки на противоположные, то мы получим :
Итак, если вы нашли множители, которые отличаются знаком, нужно в одном из них вынести знак минус за скобки, а затем уже сократить. Например:
Сложение и вычитание дробно-рациональных выражений
Для сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого мы будем пользоваться уже известным нам алгоритмом:
- разложить на простые множители знаменатели дробей,
- найти общие множители в знаменателях дроби,
- умножить числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители, чтобы знаменатели стали одинаковыми,
- сложить (вычесть) числители дробей, знаменатель оставить прежним.
Пример 3. Выполнить вычитание:
Решение
Общие множители 
В первой дроби не хватает множителя , во второй – множителей 
:
Ответ: 
.
При работе с дробно-рациональными выражениями алгоритм абсолютно такой же. При этом не стоит забывать, что общие множители знаменателей могут отличаться знаком и порядком слагаемых.
Пример 4. Выполнить вычитание:
Решение
Раскладываем знаменатели на множители:
Во второй дроби разложим знаменатель методом группировки:
Получаем:
Отметим общие множители 
и 
– они отличаются лишь порядком слагаемых.
Тогда умножаем числители и знаменатели дробей на недостающие множители 
и 
:
Знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
Ответ: 
.
Мы выполнили вычитание. Полученное выражение можно ещё упростить, проверив, сократится ли дробь. Подробнее об упрощении этой дроби ниже.
Упрощение дроби
Пример 1. Упростить выражение:
Решение
Знаменатель уже разложен на множители, осталось разложить на множители числитель.
Сейчас в числителе слагаемых, они не содержат общих множителей. Поэтому сначала раскрываем скобки:
Раскладываем на множители: 
.
В итоге получили дробь:
Видим, что общих множителей нет, значит, дробь нельзя сократить.
Ответ: 
.
Обратите внимание: если нас просят упростить выражение, то дают подсказку – это точно можно сделать. Поэтому в числителях и/или знаменателях дробей подобраны такие многочлены, которые обязательно должны раскладываться на множители (за очень редким исключением). А значит, нужно только перебрать известные нам методы: вынесение за скобки, группировка и ФСУ – какой-то обязательно должен подойти. Вопрос только во времени. Чем больше заданий вы решите, тем меньше времени у вас будет уходить на то, чтобы понять, какие именно многочлены надо раскладывать на множители и каким именно способом.
Умножение и возведение дробно-рациональных выражений в степень
Умножение и возведение алгебраических дробей в степень происходит так же, как и в случае числовых дробей. Тут нет никаких «подводных камней»: при умножении отдельно умножаем числители, отдельно – знаменатели. При возведении в степень также отдельно возводится в степень числитель и знаменатель дроби.
Пример 5. Выполнить умножение:
Решение
Можно было бы так и оставить, но явно видны ФСУ, которые можно применить:
Тогда 
.
Ответ: 
.
Деление дробно-рациональных выражений
Для деления выражения на дробь нужно умножить это выражение на обратную дробь. Здесь также всё происходит аналогично действиям с числовыми дробями.
Пример 6. Выполнить деление, указать ОДЗ выражения: 
.
Решение
Найдём ОДЗ. Во-первых, каждая из двух дробей должна быть определена, т.е. их знаменатели не должны быть равны :
Кроме того, вторая дробь не должна равняться нулю, чтобы не было деления на ноль. Это значит, что и числитель этой дроби не должен быть равен нулю (дробь равна тогда и только тогда, когда её числитель равен ): 
.
Получили три условия: 
.
Из первого условия следует, что 
. Во втором и третьем разложим правые части на множители:
Чтобы произведение множителей не было равно нулю нужно, чтобы каждый из множителей не был равен нулю:
Условия и 
эквиваленты, поэтому получаем следующую ОДЗ исходного выражения: 
.
Выполним деление, как умножение на перевёрнутую дробь:
Ответ: 
.
Мы выполнили деление. Полученную дробь можно упростить, сократив её. Попробуйте сделать это самостоятельно, а с решением можно ознакомиться ниже.
Упрощение дроби
Пример 1. Упростить:
Решение
Числитель и знаменатель дроби уже разложены на множители, но пока что не видно общих. Поэтому продолжим разложение на множители:
Получим дробь: 
.
Множители 
и 
отличаются лишь знаком. Аналогично 
и 
. Вынесем 
за скобки:
Сократим одинаковые множители. Также учтём, что 
. Получим:
Обратите внимание: ОДЗ полученного выражения: 
. Чтобы выражения были эквивалентными, нужно потребовать дополнительно следующее:
Ответ: 
.
Заключение
На следующем уроке мы потренируемся упрощать дробно-рациональные выражения и выполнять с ними различные действия.
Список рекомендованной литературы:
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 8 класс. Учебник. ФГОС. М., «Просвещение», 2018.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 8 класс. Учебник. М., «Просвещение», 2018.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра. 8 класс. Учебник. М., «Просвещение», 2018.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:
- Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
- Интернет-портал «school-assistant.ru»(Источник)
- Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)
Домашнее задание:
1. Доказать, что дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной :
2. Упростить выражение:
3. Упростить выражение и найти его значение при 
:
