Основные факты
Вспомним основные факты, связанные с видами чисел, которые будут нам полезны.
Определение степени с целым показателем – для любого 
:
Стандартный вид числа – запись числа в виде:
,
где 
, 
– целое.
Арифметический квадратный корень
– это такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат дает 
:
Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде дроби 
, где 
– целое число, – натуральное. Числа, которые нельзя представить в таком виде, называют иррациональными.
Иррациональные и рациональные числа вместе образуют множество действительных (или вещественных) чисел.
Перейдем к решению примеров.
Задание 1. Записать числа в порядке возрастания:
Указать все иррациональные числа.
Решение.
Сравнивать числа можно несколькими способами. Например, определяя знак их разности: если 
, то 
, и наоборот.
Другой способ – сравнение чисел, записанных в одном формате. Например, удобно сравнивать числа, которые записаны в виде десятичных дробей.
Упростим сначала некоторые из представленных чисел:
Мы знаем, что отрицательные числа всегда меньше положительных. Поэтому три наименьших числа из данного набора: 
(именно в таком порядке) (см. рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1
Осталось сравнить числа 
. Сначала определим промежутки, в которых будут расположены корни (оценим их значения):
Таким образом, 
, т. е. число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить 
, находится в промежутке от 
до 
(см. рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1
Аналогично:
Получим, что 
лежит в промежутке от до (см. рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1
Понятно, что и правильная дробь 
, и бесконечная периодическая дробь 
меньше , а значит, меньше чем 
.
Осталось сравнить числа и . Более простой способ, конечно, состоит в том, чтобы разделить в столбик 
на 
и получить эквивалентную десятичную запись обыкновенной дроби 
. И сразу ясно, что 
(см. рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1
Но мы потренируемся переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную. Пусть 
, тогда 
.
Если вычесть из второго равенства первое, получим:
Откуда:
Также ясно, что:
Итак, запишем итоговый порядок чисел:
Осталось найти иррациональные числа. Вспомним, что это числа, которые нельзя представить в виде дроби , где – целое число, – натуральное. Можно привести и эквивалентное определение: это те числа, которые нельзя представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Понятно, что 
– рациональные числа. В таких заданиях главное не ошибиться с определением вида числа 
.
Обычно мы будем сталкиваться с иррациональными числами, которые записываются с использованием квадратных корней. Но не любое число, в записи которого используется квадратный корень, будет иррациональным.
– хороший пример. Это не просто рациональное число, а целое: 
, хотя записано с использованием квадратного корня.
А вот корни 
, действительно, эквивалентно представить в виде дроби не получится. Поэтому эти числа будут иррациональными.
Ответ: ; числа иррациональные.
Задание 2. Вычислить значение выражения:
Записать результат в стандартном виде.
Решение.
По определению степени с отрицательным показателем:
По определению нулевой степени:
Таким образом:
Запишем число 
в стандартном виде. Для этого поставим запятую так, чтобы полученное число удовлетворяло неравенству: . Получим 
. Чтобы получить исходное число, нужно умножить на 
(сдвинули запятую на два знака влево, значит, нужно умножить на 
):
Ответ:
.
Упрощение дробно-рациональных выражений
Теперь рассмотрим задания на упрощение дробно-рациональных выражений. Алгоритм работы с ними такой же, как и с обычными дробями. Вспомним его.
Алгоритм упрощения дробно-рациональных выражений
1. Дробь можно упростить, разложив на множители ее числитель и знаменатель и сократив одинаковые множители:
2. Для сложения и вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю:
3. Для умножения двух дробей нужно перемножить их числители и знаменатели. Соответственно, при возведении дроби в степень необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель:
4. Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить его на обратную дробь.
При этом нам пригодятся уже полученные навыки разложения многочленов на множители:
Задание 3. Сократить дробь:
Указать допустимые значения переменных в исходной дроби и в выражении, которое получится после упрощения.
Решение.
Для сокращения дроби необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
Рассмотрим числитель. Вынесем общий множитель 
за скобки и применим формулу сокращенного умножения (квадрат суммы):
Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу сокращенного умножения (разность квадратов):
Таким образом:
Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Соответственно, 
и 
. Или: 
и 
.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители.
Разделим числитель и знаменатель на 
. Обратите внимание, что при этом , поскольку на 
делить нельзя:
Еще можно сократить числитель и знаменатель дроби на :
Рассмотрим допустимые значения переменных. Знаменатель не равен нулю, т. е. .
Как видите, области допустимых значений отличаются. Т. е. преобразование 
не является тождественным. Чтобы оно стало тождественным, необходимо дополнительно указать, что .
Ответ:
. ОДЗ исходного выражения: и . ОДЗ выражения после сокращения: .
Задание 4. Найти значение выражения при 
:
Решение.
Сначала упростим исходное выражение. Для сложения и вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.
Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов:
Полученные множители похожи на знаменатели второй и третьей дроби. Чтобы они полностью совпадали, вынесем из первой скобки знак «минус» и поменяем местами получившиеся слагаемые:
Получаем:
Приведем все дроби к общему знаменателю 
. Во втором слагаемом умножим числитель и знаменатель на 
, в третьем – на 
:
Упростим числитель:
Получаем:
Полученное выражение можно разделить на 
. И поскольку , то деление на мы не выполним, получаем:
Мы максимально упростили выражение (т. е. уменьшили количество действий, которое необходимо выполнить, чтобы вычислить значение выражения). Теперь подставим значение :
Ответ: 
.
Задание 5. Выполнить действия и упростить полученное выражение:
Решение.
Выполним действия поочередно – сначала деление, затем умножение:
Действие 1. Деление на дробь заменим умножением на обратную (перевернутую):
Для удобства представим первый множитель в виде дроби:
Для умножения дробей необходимо умножить их числители и знаменатели:
Действие 2. Опять же, для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели:
Мы выполнили все действия. Осталось упростить полученное выражение. Для этого разложим числитель и знаменатель полученной дроби.
Рассмотрим числитель:
Первый множитель разложим по формуле разности квадратов:
В итоге получаем:
Разложим знаменатель на множители:
В выражении 
есть общий множитель 
, который можно вынести за скобки:
Во второй скобке стоит квадрат разности:
В итоге получаем знаменатель:
А вся дробь принимает вид:
Видим общие множители. Упростим выражение, сократив числитель и знаменатель на 
:
Ответ: 
.
Задание 6. Упростить выражение:
Решение.
Выполним упрощение по действиям:
Действие 1. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю:
Упростим полученную дробь, для этого вынесем общий множитель 
в числителе:
Действие 2. Выполним умножение:
Сразу видим общий множитель 
, на который можно сократить дробь:
Во втором множителе в знаменателе можно вынести за скобки выражение 
:
Получим:
Можно сократить на :
Обратим внимание на множители
и 
. Можем вынести знак «минус» за скобки, чтобы в дальнейшем их сократить:
Получим:
Действие 3. Заменим операцию деления умножением на обратную дробь:
Упростим полученную дробь
1. В первом множителе знаменателя видим формулу квадрата разности:
2. Во втором множителе в знаменателе есть подобные слагаемые:
3. В числителе есть выражение 
, к которому можно было бы применить формулу разности квадратов. Но число 
неудобно представлять в виде квадрата, только как 
. А поскольку в условии больше нигде нет выражений с корнями, то подобное разложение на множители не потребуется.
В итоге получим дробь:
Сократим на общие множители 
и 
:
Действие 4. Выполним сложение:
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатели одинаковы с точностью до знака, поэтому достаточно числитель и знаменатель второй дроби умножить на 
:
Упростим полученное выражение – используем формулу разности квадратов:
Ответ: 
.
Заключение
Итак, как вы убедились, для выполнения задания с дробно-рациональными выражениями вам необходимо уметь:
- раскладывать многочлены на множители;
- уметь выполнять действия с дробями: приводить к общему знаменателю, умножать и делить дроби.
Все остальное уже техника, которая нарабатывается решением достаточного количества примеров.
Список литературы
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)
3. Интернет-портал school-assistant.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Вычислить:
2. Упростить выражение:
3. Доказать тождество:
