Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Решение рациональных уравнений
1. Пример решения рационального уравнения, являющегося математической моделью текстовой задачи
Как вы уже успели заметить на предыдущем уроке, основа решения рациональных уравнений – техника преобразования рациональных выражений. Рассмотрим пример решения рационального уравнения.
Пример 1
Решить уравнение: 
.
Решение:
В первую очередь обратим внимание на то, что в числителях обеих дробей, а также в правой части уравнения стоят чётные числа. То есть, можно упростить уравнение, поделив обе его части на 
. Этот шаг не является обязательным, но, чем проще уравнение, тем легче его решать, а чем меньше числа, фигурирующие в уравнении, тем легче арифметические вычисления при его решении.
В результате сокращения получаем:
Теперь перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить справа 
, а затем приведём полученные в левой части дроби к общему знаменателю:
Напомним, что дробь равна тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Поэтому наше уравнение превращается в следующую систему:
Теперь вспомним ещё один важный факт: произведение равно тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен , а остальные множители при этом существуют. И наша система превращается в следующую:
.
Оба полученных корня являются решениями данного уравнения, так как при них знаменатель определён.
Ответ: 
.
2. Пример текстовой задачи и решения её с помощью математического моделирования
Рассмотренное нами уравнение является моделью для такой задачи:
Задача 1
Лодка прошла 
по течению реки и 
против течения реки, затратив на весь путь 
. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 
?
Решение:
Решение данной задачи осуществим с помощью метода математического моделирования и выделим 3 этапа данного метода.
Этап 1. Составление математической модели
Обозначим через 
собственную скорость лодки (это стандартный приём при решении текстовых задач – обозначить с помощью неизвестной ту величину, которая спрашивается в условии задачи). Тогда:
– скорость движения лодки по течению реки;
– скорость движения лодки против течения реки.
В этом случае, воспользовавшись формулой: 
, получаем, что время движения лодки по течению реки выражается как 
, а время движения лодки против течения реки – 
. Тогда общее время движения лодки равно , откуда получаем уравнение:
– это и есть математическая модель данной задачи.
Этап 2. Работа с математической моделью
В данном случае работа с математической моделью сводится к решению данного рационального уравнения, что мы уже сделали в примере 1. При этом получили корни уравнения: .
Этап 3. Ответ на вопрос задачи
Дело в том, что математическая модель потому и является математической, что абстрагирована от реальной жизни. Если брать конкретно данную задачу, то математическая модель – это уравнение, которое может иметь любые корни. Однако неизвестная величина обозначает скорость лодки, поэтому не может быть, к примеру, отрицательной. Или: не может быть меньше скорости течения реки, иначе бы лодка не смогла бы плыть против течения. И такие ограничения могут быть в самых разных задачах. Поэтому, прежде чем записать ответ, необходимо оценить, является ли он правдоподобным.
В данном случае очевидно, что 
не подходит, так как лодка не смогла бы с такой скоростью плыть против течения. Поэтому в ответ пойдёт только одна величина: 
.
Ответ:
3. Различные примеры решения рациональных уравнений
Рассмотрим несколько примеров на решение непосредственно рациональных уравнений.
Пример 2
Решить уравнение: 
.
Решение:
Перенесём все слагаемые в левую часть, а затем приведём дроби к общему знаменателю.
Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе:
Ответ:.
Пример 3
Решить уравнение: 
.
Решение:
В данном уравнении в правой части уже стоит , поэтому ничего переносить левую часть не нужно. Сразу приведём дроби в левой части к общему знаменателю:
.
Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе:
. Подставив данное значение в знаменатель, убеждаемся, что он не равен . Значит, это значение переменной является ответом.
Ответ:
.
Пример 4
Решить уравнение: 
.
Решение:
Схема решения данного уравнения абсолютно такая же, как и у предыдущих:
Ответ:
.
4. Решение задачи, сводящейся к рациональному уравнению
К решению рациональных уравнений часто сводятся различные задачи. Рассмотрим один из таких примеров.
Задача 2
Существует ли такое значение 
, при котором разность дробей 
и 
равна 
?
Решение:
Запишем уравнение, соответствующее условию данной задачи: 
.
Решим данное рациональное уравнение точно так же, как и в предыдущих примерах.
Приведём подобные слагаемые в числителе (они отмечены одинаковым цветом):
То есть, такое значение существует.
Ответ: существует:
.
Итак, мы рассмотрели примеры решения рациональных уравнений, а также их использование при решении различных задач. На следующих уроках мы перейдём к изучению новой темы, посвящённой различным функциям.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. Портал для всей семьи (Источник).
3. Обучающие курсы (Источник).
Домашнее задание
1. №№165, 178. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Решить уравнения: а)
, б) 
.
3. Выполнить действия: а) 
, б) 
.
4. Два экскаватора могут выкопать котлован за 
. Первый экскаватор может выкопать котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может выкопать такой же котлован каждый экскаватор, работая отдельно?
