Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Сформулируем правило сложения (вычитания) алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (оно совпадает с аналогичным правилом для обыкновенных дробей): 
То есть для сложения или вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо составить соответствующую алгебраическую сумму числителей, а знаменатель оставить без изменений.
Это правило мы разберём и на примере обыкновенных дробей, и на примере алгебраических дробей.
Примеры применения правила для обыкновенных дробей
Пример 1. Сложить дроби: 
.
Решение
Сложим числители дробей, а знаменатель оставим таким же. После этого разложим числитель и знаменатель на простые множители и сократим. Получим: 
.
Примечание: стандартная ошибка, которую допускают при решении подобного рода примеров, заключается в следующем способе решения: 
. Это грубейшая ошибка, поскольку знаменатель остаётся таким же, каким был в исходных дробях.
Ответ: 
.
Пример 2. Сложить дроби: 
.
Решение
Данная задача ничем не отличается от предыдущей: 
.
Ответ: 
.
Примеры применения правила для алгебраических дробей
От обыкновенных дробей перейдём к алгебраическим.
Пример 3. Сложить дроби: 
.
Решение:как уже говорилось выше, сложение алгебраических дробей ничем не отличается от сложения обыкновенных дробей. Поэтому метод решения такой же: 
.
Ответ: 
.
Пример 4. Вычесть дроби: 
.
Решение
Вычитание алгебраических дробей отличается от сложения только тем, что в числитель записывается разность числителей исходных дробей. Поэтому 
.
Ответ: 
.
Пример 5. Вычесть дроби: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Пример 6. Упростить: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Примеры применения правила с последующим сокращением
В дроби, которая получается в результате сложения или вычитания, возможны сокращения. Кроме того, не стоит забывать об ОДЗ алгебраических дробей.
Пример 7. Упростить: 
.
Решение: 
.
При этом 
. Вообще, если ОДЗ исходных дробей совпадает с ОДЗ итоговой, то его можно не указывать (ведь дробь, полученная в ответе, также не будет существовать при соответствующих значениях переменных). А вот если ОДЗ исходных дробей и ответа не совпадает, то ОДЗ указывать необходимо.
Ответ: 
.
Пример 8. Упростить: 
.
Решение: 
. При этом y
(ОДЗ исходных дробей не совпадает с ОДЗ результата).
Ответ: 
.
Примеры с вынесением знака «-» за скобки в знаменателе
При работе с дробями следует крайне внимательно относиться к знакам, так как именно с неправильным употреблением знаков связано наибольшее количество ошибок. В частности, минус перед дробью можно отнести либо только к числителю, либо только к знаменателю.
Пример 9. Упростить: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Пример 10. Упростить: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Пример 11. Упростить: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Различные примеры на применение правила
При сложении и вычитании дробей также не следует забывать об упрощении полученной суммы – сокращении дроби 
. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 12. Упростить: 
.
Решение: 
. При этом необходимо указать, что 
(так как это ограничение не входит в ОДЗ ответа).
Ответ:
.
Пример 13. Упростить: 
.
Решение: 
. При этом необходимо указать, что 
(так как это ограничение не входит в ОДЗ ответа).
Ответ:
.
Примеры на доказательство тождеств, упрощение и вычисление значений
Ещё одним типом задач, в которых может понадобиться сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем, могут быть примеры на доказательство тождеств. Рассмотрим такой пример.
Пример 14. Докажите тождество: 
.
Доказательство: 
.
Доказано.
Разберём также несколько примеров, в которых очень важна аккуратная работа со знаками (в частности, происходит умножение на 
и числителя, и знаменателя дроби – при этом сама дробь, как мы помним, не меняется).
Пример 15. Упростите выражение: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Пример 16. Упростите выражение: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Складывать и вычитать дроби иногда приходится и в задачах на вычисление значений выражений. Рассмотрим соответствующий пример.
Пример 17. Найти значение выражения: 
при 
.
Решение: 
.
Ответ:
.
На данном уроке мы рассмотрели правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, решили типовые задачи с использованием этих правил. В дальнейшем мы рассмотрим более сложные примеры задач на эти правила, а также научимся складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.
Список рекомендованной литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
- Никольский С.М., Потапом М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованное домашнее задание
- №№ 44 – 47. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
- Упростить выражение: а)
, б) 
, в) 
. - Вычислить значение выражения
при 
. - Упростить выражение
.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
