Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи)

Пример №1 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вспомним изученное на прошлом уроке правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковым знаменателем:

Примечательно то, что оно одинаково применимо и для простейших случаев, рассмотренных ранее, и для более сложных, которые мы сейчас разберем на примерах.

Пример 1. Сложить и вычесть указанные дроби: .

Решение. Очевидно, что указанные дроби уже с одинаковым (общим) знаменателем, и мы можем воспользоваться упомянутым ранее правилом их сложения/вычитания.

.

Прокомментируем последовательность действий. В процессе применения правила сложения/вычитания дробей следует помнить, что такой знак, как минус перед дробью, относится ко всему числителю, и вычитать его необходимо в скобках. После приведения подобных слагаемых необходимо попытаться разложить знаменатель и числитель дроби на множители в надежде сократить на какой-то из них, что мы успешно и проделали. Затем при удачном стечении обстоятельств дробь сокращается, как в нашем случае, например, на . При этом стоит помнить, что любые сокращенные элементы необходимо учесть в области недопустимых значений переменных, так как они пропадают из дроби, и о них можно забыть. В нашем случае запишем, что .

Ответ..

Пример №2 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 2. Сложить и вычесть указанные дроби:.

Решение. В указанном условии неочевидно, одинаковы ли знаменатели у дробей. Чтобы это проверить, разложим их на множители. При разложении на множители первого знаменателя  видим, что он почти такой же, как и у второй дроби, противоположен только знак второго множителя. Чтобы привести знаменатели к одинаковому виду, вынесем минус из второго множителя второй дроби, и он окажется перед дробью, так как знак знаменателя и числителя относятся и ко всей дроби сразу:

.

Знаменатель третьей дроби тоже очень похож на знаменатель первой до разложения. Поступим с ним аналогично – вынесем минус и разложим на множители:

.

Все полученные преобразования дробей подставим в исходное условие (знак перед третьей дробью получится положительным, т. к. «минус на минус дает плюс»).

.

В числителе воспользовались формулой квадрата разности. После сокращения учтем, что

Ответ. .

Рассмотрим теперь пример на применение умения складывать дроби с одинаковыми знаменателями в других целях.

Пример на применение сложение/вычитания дробей при доказательстве положительности выражения

Пример 3. Доказать, что выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной.

Решение. Поскольку необходимо исследовать выражение при всех допустимых значениях переменной, определим эти значения. По уже известному принципу, это все значения , кроме . Следовательно, . Выполним действия:

.

После приведения подобных слагаемых мы воспользовались формулой квадрата разности , далее, т. к. , то . Числитель и знаменатель положительные числа, значит, и дробь положительна.

Доказано.

На следующих уроках мы поговорим уже о сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, используя похожую на изученную нами технику.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Сайт учителя математики Зубаревой Веры Анатольевны (Источник).

 

Домашнее задание

1. №58, 59, 60. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Упростить выражение .
3. Упростить выражение .
4. Упростить выражение .