Определение и свойства степеней с натуральным показателем
Вспомним, что такое степень с натуральным показателем. По определению:
Вспомним также свойства степеней с натуральным показателем:
1. 
;
2. 
(
);
3. 
;
4. 
;
5. 
(
).
Постараемся ввести степень с отрицательным показателем так, чтобы свойства для степени с натуральным показателем остались верными и для степеней с отрицательными показателями.
Степень с нулевым показателем
Сначала введём степень с показателем 0. Для этого в свойстве 2 положим: 
. Получим:
()
()
Таким образом, получаем следующий вывод: для любого ненулевого основания его нулевая степень должна равняться 1.
Или: 
.
Степень с отрицательным показателем
Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Для этого в свойстве 2 положим 
, получим:
()
()
Получаем такое определение степени с отрицательным показателем:
, .
Мы вводили определение так, чтобы все свойства степени с натуральным показателем сохранялись. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Поэтому в дальнейшем мы можем смело ими пользоваться.
Решение примера
Рассмотрим несколько примеров на применение полученного определения и свойств степени.
Пример 1.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: 
. Докажите её самостоятельно.
г) 
.
Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: 
. Докажите её самостоятельно.
Пример с приведением различных чисел к степеням с одинаковым основанием
Пример 2.
Представить следующие выражения в виде степеней числа 2:
.
Решение:
.
Последнее выражение можно было преобразовать и по-другому: 
.
Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: 
Докажите её самостоятельно.
Второй пример очень важен: мы научились сводить разные основания к одному. Это полезно при решении различных примеров.
Решение более сложных примеров
Пример 3. Вычислить:
а) 
;
б) 
.
Последнее выражение можно было преобразовывать и другим способом: 
Аналогичные идеи работают не только с числами, но и с буквенными выражениями. Рассмотрим несколько примеров.
Решение примеров с буквенными переменными
Пример 4.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
На этом уроке мы ввели понятие степени с отрицательным показателем, выяснили, что все свойства степеней с натуральными показателями остаются верными и для нового вида степеней. Также рассмотрели ряд примеров на применение данных свойств.
На следующем уроке мы начнём изучение новой темы – квадратные уравнения.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Вся элементарная математика (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Старая школа (Источник).
Домашнее задание
1. №106-112, Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
3. Представьте в виде степени с основанием 10 число: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
4. Найдите значение выражения: а) 
, б) 
.
