Рассмотрим примеры текстовых задач на совместную работу.

Задача 6. Заказ на деталей первый рабочий выполняет на час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на деталь больше?

Решение

1. Анализ условия.

Количество деталей: .

Скорость работы первого рабочего: . Время его работы: .

Скорость работы второго рабочего: .Время его работы: .

2. Составление модели

Время работы первого рабочего:

Время работы второго рабочего:

При этом, по условию, первый выполняет работу на ч быстрее второго:

По условию скорость первого рабочего, который изготавливает на деталь в час больше:

Подставляем первое и третье условие во второе. Получаем уравнение:

3. Решение задачи

Получили дробно-рациональное уравнение, которое мы уже умеем решать. Переносим все слагаемые в одну сторону, затем приводим дроби к общему знаменателю:

Приравниваем числитель к (при этом , т. к. знаменатель не равен ).

Т. к. рабочий не может изготавливать отрицательное количество деталей в час, то получаем, что второй рабочий изготавливает деталей в час.

Ответ: второй рабочий изготавливает деталей в час.

Вначале могло показаться, что перед нами принципиально новая задача. Однако после составления модели видно, что эта задача ничем принципиально не отличается от задач на движение. Действительно, условие этой задачи можно переписать так: «Расстояние в км первая машина проезжает на час быстрее, чем вторая. Какова скорость второй машины, если известно, что скорость первой на км/час больше?» Т. е. решение текстовых задач на движение и на совместную работу одинаково с точностью до числовых данных.

Чтобы убедиться в этом, можете посмотреть еще один пример решения задачи на совместную работу в ответвлении.

Задача на совместную работу

Задача. Первая труба заполняет водой бассейн, объем которого равен , на минут быстрее, чем вторая труба. Сколько кубических метров вытекает за час из каждой из труб, если из первой в час вытекает на больше, чем из второй?

Решение

1. Анализ условия

Объем бассейна: .

Скорость (расход) первой трубы: , время заполнения бассейна: .

Скорость (расход) второй трубы: , время заполнения бассейна: .

2. Переход к математической записи условия

Время работы первой трубы () на минут ( часа) меньше времени работы второй трубы ():

Расход (скорость вытекания) воды из первой трубы () на в час больше расхода второй воды из второй трубы ():

Первая труба заполняет бассейн за время:

Вторая труба заполняет бассейн за время:

Подставляем второе и третье условия в первое и получаем уравнение:

3. Решение задачи

Решаем его, преобразовывая к квадратному:

Приравниваем числитель к (при этом , т. к. знаменатель не равен ).

Скорость не может быть отрицательной, поэтому:

Ответ: из первой трубы вытекает , а из второй – .

И снова кажется, что это совершенно новая задача. Но прочитаем ее условие так:

«Первый рабочий выполняет заказ из деталей на минут быстрее, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает каждый рабочий, если первый рабочий в час делает на деталей больше, чем второй?» Но такую задачу мы только что решали.

Таким образом, несмотря на разнообразные формулировки, все текстовые задачи на движение и совместную работу решаются по одному алгоритму: анализ условия и обозначение величин, составление математической модели (используя три формулы для расстояния, скорости и времени), а затем решение полученного уравнения или системы.

Обратите внимание, что мы рассмотрели на этом уроке большое количество различных текстовых задач с совершенно разными формулировками. Однако «инструментов» для их решения мы использовали всего три:

Вычисление процентов и сложение масс при смешении веществ.
Сложение и вычитание скоростей при движении в одном и противоположном направлениях.
Использование определения скорости равномерного движения и следствий из него.

Таким образом, необходимо научиться отделять инструменты решения (их нам и дает математика) от предмета самой задачи. На следующем уроке мы рассмотрим решение линейных и квадратных неравенств, а также поговорим о применении метода интервалов для решения неравенств.

Список литературы

Никольский С. М., Решетников Н.Н., Потапов М. К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С. Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник).
Интернет-портал «shkolkovo.net» (Источник).
Интернет-портал «youclever.org» (Источник).

Домашнее задание

Фермер собрал с двух участков т клевера. На второй год на первом участке урожай увеличился на , а на втором – на и общий урожай клевера составил т. Сколько тонн клевера было собрано с каждого участка в первый год?
Моторная лодка прошла путь по течению реки км и обратно за ч. В другой раз та же моторная лодка за ч 20 мин прошла по течению реки км, а против течения км. Найти скорость моторной лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
Двое рабочих изготовили вместе деталей. Первый рабочий работал дней, а второй – дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за один день, если первый рабочий за дня изготавливал на деталей больше, чем второй за дня?