Пример 1

Рассмотрим множество натуральных чисел :

Множество четных чисел :

, т. е.

Множество чисел кратных 10:

Кажется, что множество является «половиной» множества , а множество – еще меньшей частью множества .

Где больше элементов?

Ответ неожиданный. В каждом из трех множеств одинаковое число элементов. Между элементами каждого из множеств можно установить взаимооднозначное соответствие:

То есть каждому элементу множества соответствует единственный элемент множеств и , и наоборот, каждому елементу множеств и соответствует единственный элемент множества .

Таким образом, имеет место взаимооднозначное соответствие между элементами всех множеств: , и . В этом и заключается парадокс – часть равна целому! Но для этого часть должна быть бесконечным множеством.

Еще один пример.

Пример 2

Есть два отрезка: – длинный отрезок, – короткий отрезок.

В каком отрезке больше элементов (точек)?

Одинаково.

Почему? Потому что можно установить взаимооднозначное соответствие между всеми элементами этих множеств, этих отрезков.

Соединим концы отрезков и получим вершину.

Рис. 6. Сравнение количества точек в отрезках

Каждому элементу большого отрезка соответствует единственный элемент маленького отрезка. И наоборот, каждому элементу маленького отрезка соответствует единственный элемент большого отрезка .

Таким образом, в некотором смысле число элементов у отрезка и отрезка одинаково.