Но для начала надо обосновать существование необходимости расширения множества рациональных чисел с помощью введения иррациональных чисел.

Рассмотрим функцию , где

График функции (рис. 1):

График функции y = x2

Рис. 1. График функции y = x²

Это часть параболы. С этой функцией связаны две основные задачи, как и с любой другой функцией, – прямая и обратная. В связи с этим решим 2-я способами несколько простейших уравнений:

Пример 1.

Найдем те значения аргумента, при которых

Первый способ – аналитический:

Произведение равно 0 тогда, когда один из множителей равен 0, а другой существует, поэтому:

, но по условию

Ответ: 2

Второй способ:

1. Строим функцию и

2. Находим точку пересечения по графику и проверяем её

Нашли, проверили и получили тот же ответ – .

Пример 2.

Ответ в первом случае будет

При решении графически мы будем следовать инструкции, как и в примере 1. Ответом будет

Пример 2.

Первый способ:

Но число подобрать сложно. Проверим решение графическим способом.

Второй способ:

Парабола рассекается прямой . При некотором значении аргумента, который обозначили . Значит, ответ есть. .

Решение уравнения

Рис. 2. Решение уравнения

– это длина отрезка ОА. Этим же символом ( обозначают длину диагонали единичного квадрата.

При измерении отрезка ОА линейкой получили:

Таким образом, мы можем получить , если эталон измельчить в n раз и взять таких m частей. Но этого сделать нельзя, потому что ≠ Еще Эвклид доказал, что ≠ .