Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Решение задач

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Решение задач

На уроке основное внимание уделяется решению задач, связанных с извлечением квадратного корня из неотрицательного числа. В начале урока для пояснения принципов работы с корнями используется график квадратичной функции. В ходе урока приводится доказательство того, что не является рациональным числом.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 3. Иррациональные числа. Выводы»

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Решение задач

1. Повторение понятия квадратного корня

Повторим теорию. Рассмотрим функцию и изобразим ее график – правую ветвь параболы (рис. 1).

Рис. 1.

И сформулируем следующую задачу: дан , найти такой, что .

Решение. По определению квадратного корня, т. к. , то , поскольку . Это можно увидеть и по графику – точке с ординатой соответствует абсцисса .

Ответ..

Пример 1. Вычислить , если , .

Решение. Воспользовавшись определением квадратного корня или указанным графиком (рис. 1) найдем искомые значения:

Ответ. 16, .

Повторим определение квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

2. Доказательство того, что корень из 2 не является рациональным числом

Пример 1. Доказать, что – нерациональное число.

Доказательство. Корень из двух – это такое значение , когда . Изобразим для наглядности график функции на рисунке 2 и отметим на нем точку с координатами .

Рис. 2.

Выполним доказательство методом от противного. Предположим, что число , которое удовлетворяет уравнению , является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби ( целое число, натуральное), причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то сократим ее и приступим к доказательству). Подставим такую запись в исследуемое уравнение:

Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Поскольку четное, то и тоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда число можно представить в виде , где некое целое число. Подставим это в полученное уравнение:

Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа , можем сделать вывод, что число является четным, и его можно представить в виде . Тогда дробь , как видно, является сократимой, что противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то число не является рациональным.

Доказано.

3. Примеры на вычисление значений квадратных корней и решение уравнений

Пример 2. Вычислить .

Решение. , в ходе решения пользуемся определением квадратного корня и тем, что и .

Ответ. 3.

Пример 3. Вычислить .

Решение. .

Ответ. 70.

Пример 4. Вычислить .

Решение. В начале решения удобно преобразовать смешанную дробь, которая находится под корнем, в неправильную: .

Ответ. 18.

Пример 5. Вычислить .

Решение. Для вычисления квадратного корня из большого составного числа необходимо, пользуясь основной теоремой арифметики, разложить его на простые множители.

Ответ. 36.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. По определению квадратного корня: .

Ответ. .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. По определению квадратного корня: . Т. к. при возведении в квадрат отрицательного числа результат положительный, то подходит и отрицательный ответ.