Повторение определения и свойств квадратного корня
Ключ к решению примеров, содержащих квадратные корни, – определение и свойства корней.
Напомним определение квадратного корня:
квадратным корнем из неотрицательного числа
называется такое число неотрицательное число 
, квадрат которого равен : 
.
Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:
.
Напомним также основные свойства квадратного корня:
1. 
(
). Если и – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.
2. 
(
). Если – неотрицательное число, а – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.
3. 
, т. е.: 
.
4. Правило внесения множителя под знак корня: 
и 
.
Решение примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни
Решим несколько примеров на применение указанных свойств.
Пример
1. Упростить выражение:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
Теперь рассмотрим более сложные примеры, в которых, в частности, встречаются буквенные переменные.
2. Упростить выражение:
а) 
.
б) 
. При этом необходимо указать ОДЗ данного выражения (так как знаменатель дроби не может равняться 
), поэтому: 
.
в) 
. Формально на этом решение можно было бы закончить. Однако иногда в условии просят избавиться от иррациональности в знаменателе (то есть, чтобы в знаменателе не было бы корней). В этом случае сделать это очень легко:
.
г) 
. Прежде, чем упрощать данный пример, необходимо выписать ОДЗ данного выражения: 
, а, кроме того, обе переменные одновременно не должны равняться (иначе знаменатель равен ). Этот факт можно записывать по-разному, но чаще всего его записывают следующим образом: 
, так как сумма квадратов двух чисел может быть равна тогда и только тогда, когда они оба одновременно равны . Теперь можем перейти непосредственно к преобразованию данного выражения:
.
Рассмотрим теперь принципиально другой пример, в котором требуется разложить выражение на множители.
3. Разложить на множители:
.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было вынести общие множители, получим:
.
Итак, мы разобрали несколько примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.
На следующем уроке мы рассмотрим более сложные примеры на упрощение таких выражений.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Подготовка к единому государственному экзамену по математике (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
Домашнее задание
1. №352-357 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Упростить выражение: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3. Упростить выражение: а) 
, б) 
, в) 
.
