В математике различных арифметических операций не так много. Вы уже знаете о сложении, вычитании, умножении, делении, возведении в целую степень и извлечении квадратного корня. В старших классах вы еще познакомитесь с возведением в рациональную степень и логарифмированием.

Это базовые кирпичики, из которых строится любое алгебраическое выражение, именно с помощью операций мы можем задавать различные функции. Рассмотрим простейшие функции, которые можно задать с помощью этих операций. Это тоже будут своего рода кирпичики, с помощью которых можно будет изучать свойства более сложных функций. Для каждой из них определим область определения и область значений, а также построим их графики.

1. Линейная функция сочетает в себе операции умножения на число, сложение/вычитание. Общий вид (см. рис. 10):

Рис. 10. График линейной функции

Область определения – все действительные числа, ведь нет деления на переменную или извлечения корня. В случае когда , область значений – все действительные числа.

Если же , то получаем функцию:

Т. е. любому числу мы ставим в соответствие фиксированное число . Областью значений будет одно число . График линейной функции – прямая линия (см. рис. 11).

Рис. 11. График линейной функции

2. Обратная пропорциональность:

Операция – деление на переменную. Область определения: . Область значений:, ведь дробь может быть равна нулю только в случае, если числитель равен нулю.

График функции можно построить по точкам:

Получим следующий вид графика (см. рис. 12), который называется гиперболой.

Рис. 12. Гипербола

Обратите внимание, что гипербола состоит из двух веток, которые расположены в и четвертях и которые стремятся к осям координат, но не пересекают их.

Оси координат для гиперболы являются асимптотами (от греческого «несовпадающий»), т. е. прямыми, к которым график функции на бесконечности подходит все ближе и ближе (расстояние от прямой до графика функции стремится к нулю).

3.Квадратичная функция:

Область определения – все действительные числа: . Область значений: , поскольку квадрат числа – неотрицательная величина.

График строим по точкам:

Полученная кривая называется квадратичная парабола или просто парабола (см. рис. 13).

Рис. 13. Парабола

Обратите внимание, что парабола симметрична относительно оси ординат (чуть позже мы поговорим, с чем связано это свойство) и что у нее тоже есть две ветви (левая и правая).

4. Кубическая функция:

Область определения и область значений – все действительные числа: . Построив по точкам график, получим кубическую параболу (см. рис. 14):

Рис. 14. Кубическая парабола

5. Функция квадратного корня:

Область определения: , область значений: , ведь по определению арифметический квадратный корень – это неотрицательная величина.

Построив по точкам график, получим следующую кривую (см. рис. 15):

Рис. 15. График функции квадратного корня

Она имеет ту же форму, что и часть параболы. Ее так и называют – ветвь параболы. То, что графики похожи, – это не совпадение, об этом мы поговорим в последней части нашего урока.

6. Функция модуля:

Вспомним еще одну математическую конструкцию – модуль числа:

Область определения – все действительные числа: ; область значений: , поскольку модуль – это неотрицательная величина.

График можно построить, раскрыв модуль. Для неотрицательных значений получим график функции . Для отрицательных будет график функции: . Полученная кривая – и есть график функции («галочка») (см. рис. 16).

Рис. 16. График функции модуля

Мы разобрали простейшие функции с использованием различных операций. Для линейной функции мы рассмотрели ее общий вид, для остальных функций лишь их частные случаи. Рассматривать общий вид параболы, обратной пропорциональности и модуля мы будем в следующем уроке.

Стоит отметить, что рассмотренных функций достаточно для описания множества процессов. В природе в основном встречаются процессы, которые достаточно точно можно описать с помощью линейных, квадратичных и обратных зависимостей. Если зависимость более сложная то можно аппроксимировать ее, т. е. приблизительно описать, с помощью этих более простых функций.

Интерполяция и аппроксимация

При проведении различных исследований возникает такая задача: по некоторым известным значениям функции попытаться восстановить саму функцию (график или формулу) (см. рис. 17). Если мы знаем, что функция линейная, то достаточно двух значений (прямая однозначно задается двумя точками).

Рис. 17. Восстановление функции по некоторым известным значениям функции

Например, сила растяжения пружины зависит от растяжения пружины по закону Гука (см. рис. 18):

Достаточно измерить силу для двух различных значений растяжения пружины, чтобы найти жесткость пружины (коэффициент ) и восстановить функцию (см. рис. 19).

Рис. 18. Закон Гука

Рис. 19. Восстановление функции при помощи закона Гука

Но можно ли попытаться восстановить функцию, не зная, какой вид она имеет (см. рис. 20)?

Рис. 20. Восстановление функции без информации о виде функции

Такая задача называется аппроксимацией – на основании экспериментального набора значений функции в нескольких точках построить функцию, на которую с высокой точностью попадут получаемые в ходе эксперимента значения (как те, что у нас уже есть, так и остальные, которые можно получить).

Если мы хотим, чтобы построенной функции точно принадлежали все имеющиеся значения функции, то этот частный случай аппроксимации называется интерполяцией.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации (т. е. приближении) какой-либо сложной функции другой, более простой функцией.

Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но для некоторых задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Подробнее почитать об интерполяции и аппроксимации можно в интернете.