Свойства функций. Базовые функции

Определение и применение функции

Математика создает инструменты, которые используются в различных сферах жизни. Одним из таких инструментов является функция. Вспомним, что функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие единственный элемент другого множества (). Так, каждому человеку можно поставить в соответствие размер обуви, каждому дню в данной местности – среднесуточную температуру, стороне квадрата – его площадь и т. д. (см. рис. 1). Все это примеры функций.

Рис. 1. Пример функции

В курсе математики мы в основном будем говорить о числовых функциях – функциях, в которых одному числу мы ставим в соответствие другое:

где ,  – числовые множества

Первое из них называют аргументом функции, а число, которое ставится ему в соответствие, – значением функции:

где  – аргумент,  – значение функции.

Другое название функции – функциональная зависимость (мы находим зависимость одной величины от другой: значения функции от ее аргумента).

С помощью числовых функций можно построить модели множества физических процессов, например:

1. Для равномерного движения можно записать зависимость пути от времени движения:

2. Для тока, протекающего на участке цепи, можно записать зависимость силы тока от напряжения:

3. Для количества теплоты, которое требуется для нагревания, можно записать зависимость от разности температур:

В экономике, биологии, логистике – везде найдется применение функциям: ими можно описать и зависимость прибыли компании от цены на товар, и рост популяции организмов с течением времени, и распределение транспортных потоков в зависимости от спроса на товар, и т. д. (см. рис. 2).

Рис. 2. Зависимость прибыли компании от цены на товар

Стоит отметить, что в определении функции мы указали, что одному аргументу ставится в соответствие некоторое значение (см. рис. 3).

Рис. 3. Одному аргументу ставится в соответствие некоторое значение

В реальных же ситуациях чаще всего целому набору переменных ставится в соответствие значение функции (см. рис. 4). Такие функции называют функциями нескольких переменных.

Рис. 4. Целому набору переменных ставится в соответствие значение функции

Но каждую функцию с несколькими переменными можно рассматривать как набор функций с одной переменной (фиксируя поочередно все остальные). Поэтому мы потренируемся работать именно с функциями одной переменной. С краткой информацией о функциях нескольких переменных вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Функции нескольких переменных

Ситуации, когда мы можем сделать такое приближение и выбрать модель так, чтобы величина зависела только от одного параметра, встречаются крайне редко.

В идеальных математических объектах такое возможно, например: площадь квадрата  зависит только от стороны квадрата . Но уже площадь прямоугольника  зависит от двух переменных – двух сторон, площадь параллелограмма  – от трех (двух сторон и угла между ними).

В описании реальных процессах функцию одной переменной найти еще сложнее. Посмотрите на следующие формулы:

Везде мы видим зависимость от двух и более величин. Пройденный путь зависит не только от времени, но и от скорости движения. Сила тока определяется не только приложенным напряжением, но и сопротивлением участка цепи.

В экономике налог тоже, по сути, функция многих переменных. Например, НДС (налог на добавленную стоимость) составляет обычно  от цены, но для некоторых групп товаров он может быть  и даже . Т. е. для расчета НДС нужно знать два аргумента: цену товара и тип товара. Другие налоги учитывают еще большее количество факторов и могут являться функциями  и даже более переменных.

Так зачем же мы изучаем функцию одной переменной, если в реальных задачах она практически не встречается? Во-первых, это удобный объект для тренировки и отработки навыков работы с функциями вообще. Во-вторых, изучение функции нескольких переменных можно свести к анализу набора функций одной переменной (фиксируя по очереди значения всех переменных, кроме одной). Соответственно, изучив поведение каждой такой «проекции» функции, можно получить данные о поведении функции нескольких переменных в целом.

Рассмотрим закон Ома для участка цепи:

Берем участок цепи с определенным значением сопротивления – фиксируем . Получаем зависимость силы тока от напряжения. Сила тока будет прямо пропорциональна приложенному напряжению (см. рис. 5). Если вы забыли, что такое прямая пропорциональность, посмотрите следующий урок: Что такое функция?.

Рис. 5. Сила тока прямо пропорциональна приложенному напряжению

Можно сделать и по-другому: зафиксировать значение  (подключаем к источнику постоянного напряжения) и меняем  (например, при помощи реостата). Получим зависимость силы тока от сопротивления (см. рис. 6.) Снова функция одной переменной.

Рис. 6. Зависимость силы тока от сопротивления

Переходя от функции нескольких переменных к функции одной переменной, нужно не упустить следующий важный момент: остальные переменные должны быть неизменными. Например, доход от товара – это функция двух переменных: цены товара и количества проданного товара (см. рис. 7):

Рис. 7. Функция двух переменных

Но нельзя сделать из этого вывод, что доход прямо пропорционален цене. Ведь мы не можем зафиксировать количество проданного товара и изменять только цену: в рыночных условиях количество проданного товара зависит от цены. Т. е., вообще говоря, если мы рассматриваем в качестве переменной цену товара , то эту формулу правильнее записать так:

где  – это еще одна функция, которая показывает зависимость количества проданного товара от цены. Эту зависимость нужно учесть, и только тогда при прочих неизменных условиях можно будет рассматривать доход от продаж товара как функцию одного аргумента – его цены.

---

 

Аналитический способ задания функции

Аргумент функции чаще всего обозначают , но можно использовать и любую другую букву. Каждому значению аргумента ставится в соответствие значение функции. Записывают это обычно так:

Чтобы указать, как именно ставится это соответствие, записывают формулу для вычисления, например:

Если хотят показать, что каждому значению  ставится в соответствие число , то это записывают так:

Или так:

Такой способ задания функции, как мы уже знаем, называется аналитическим.

Задание 1. Зависимость перемещения тела от времени движения имеет вид:

,

где  задано в секундах,  – в метрах. Определить перемещение тела через 2 секунды.

Решение

По сути, нам нужно вычислить значение функции  при . Записывают это так:

Т. е. мы просто подставляем в формулу конкретное числовое значение аргумента  и вычисляем значение функции при этом значении аргумента.

Ответ:  м.

 

Области определения и значения функции

Функция – это соответствие между двумя множествами. Поэтому, чтобы задать функцию, нужно определить не только само соответствие, но и множества, между которыми оно устанавливается. Множество аргументов – это область определения функции, а множество значений функции – область значений (см. рис. 8).

Рис. 8. Области определения и значений функции

Но чаще всего область определения и область значений числовых функции не задают, предполагая, что они естественные. Естественная область определения при аналитическом задании – это область допустимых значений выражения, которое записано в формуле. Соответственно, естественная область значений – это множество всех значений, которые может принимать функция.

Почему вообще могут появляться недопустимые значения аргумента? Функции – это инструмент, и, как любой инструмент, они имеют свои ограничения при использовании: ножницами для бумаги разрежешь бумагу, но не металл.

Мы говорим о числовых функциях, поэтому и работают они с числами, а конкретнее – с действительными числами. Мы уже знаем, что некоторые операции с действительными числами не определены, а именно:

1. деление на ноль;
2. извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Таким образом, в некоторых случаях мы не всем значениям аргумента сможем поставить в соответствие значение функции. Значения аргумента, для которых мы не можем это сделать, называются недопустимыми значениями аргумента. А множество всех допустимых значений аргумента мы и будем подразумевать под областью определения функции (если отдельно не оговорено иное).

Рассмотрим примеры:

1.

Деления на переменную нет, недопустимых значений нет. Область определения функции – все действительные числа: .

2.

Поскольку деление на ноль не определено, то значения , при которых , являются недопустимыми. Решая уравнение, находим: . Эти значения являются недопустимыми, значит, область определения:  и .

3.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит, . Это верно для всех значений , значит, область определения функции: .

В рассмотренных выше примерах говорится о естественной области определения. Но она может быть задана искусственно, как дополнительное условие. Например, у функции  естественной областью определения являются все числа. Но если таким образом мы задаем зависимость площади квадрата от его стороны, то нужно дополнительно указать, что  – и это будет областью определения данной функции.

Итак, область определения – это множество всех значений, которые может принимать аргумент , а область значений функции – множество значений, которые может принимать функция .

При использовании любого инструмента результат зависит от того, что это за инструмент и к чему его применили: перекрутив мясо в мясорубке, мы получим фарш. Для функций это значит, что область их значения зависит от области определения и от того, что это за функция.

Например, рассмотрим кубики с ребром  от 1 до 3. Объемы  этих кубиков будут принимать значения от 1 (для самого маленького кубика) до 27 (самого большого). На это можно посмотреть как на функцию зависимости объемов этих кубиков от длины ребра:  при  (см. рис. 9).

Рис. 9. График функции

Тогда область значений этой функции от  до : .При этом максимальное значение функции равно 27, минимальное равно 1.

На практическом занятии мы еще потренируемся искать области значений различных функций.

Базовые функции

В математике различных арифметических операций не так много. Вы уже знаете о сложении, вычитании, умножении, делении, возведении в целую степень и извлечении квадратного корня. В старших классах вы еще познакомитесь с возведением в рациональную степень и логарифмированием.

Это базовые кирпичики, из которых строится любое алгебраическое выражение, именно с помощью операций мы можем задавать различные функции. Рассмотрим простейшие функции, которые можно задать с помощью этих операций. Это тоже будут своего рода кирпичики, с помощью которых можно будет изучать свойства более сложных функций. Для каждой из них определим область определения и область значений, а также построим их графики.

1. Линейная функция сочетает в себе операции умножения на число, сложение/вычитание. Общий вид (см. рис. 10):

Рис. 10. График линейной функции

Область определения – все действительные числа, ведь нет деления на переменную или извлечения корня. В случае когда , область значений – все действительные числа.

Если же , то получаем функцию:

Т. е. любому числу  мы ставим в соответствие фиксированное число . Областью значений будет одно число . График линейной функции – прямая линия (см. рис. 11).

Рис. 11. График линейной функции

2. Обратная пропорциональность:

Операция – деление на переменную. Область определения: . Область значений:, ведь дробь может быть равна нулю только в случае, если числитель равен нулю.

График функции можно построить по точкам:

Получим следующий вид графика (см. рис. 12), который называется гиперболой.

Рис. 12. Гипербола

Обратите внимание, что гипербола состоит из двух веток, которые расположены в  и  четвертях и которые стремятся к осям координат, но не пересекают их.

Оси координат для гиперболы являются асимптотами (от греческого «несовпадающий»), т. е. прямыми, к которым график функции на бесконечности подходит все ближе и ближе (расстояние от прямой до графика функции стремится к нулю).

3.Квадратичная функция:

Область определения – все действительные числа: . Область значений: , поскольку квадрат числа – неотрицательная величина.

График строим по точкам:

 

Полученная кривая называется квадратичная парабола или просто парабола (см. рис. 13).

Рис. 13. Парабола

Обратите внимание, что парабола симметрична относительно оси ординат (чуть позже мы поговорим, с чем связано это свойство) и что у нее тоже есть две ветви (левая и правая).

4. Кубическая функция:

Область определения и область значений – все действительные числа: . Построив по точкам график, получим кубическую параболу (см. рис. 14):

 

Рис. 14. Кубическая парабола

5. Функция квадратного корня:

Область определения: , область значений: , ведь по определению арифметический квадратный корень – это неотрицательная величина.

Построив по точкам график, получим следующую кривую (см. рис. 15):

 

Рис. 15. График функции квадратного корня

Она имеет ту же форму, что и часть параболы. Ее так и называют – ветвь параболы. То, что графики похожи, – это не совпадение, об этом мы поговорим в последней части нашего урока.

6. Функция модуля:

Вспомним еще одну математическую конструкцию – модуль числа:

Область определения – все действительные числа: ; область значений: , поскольку модуль – это неотрицательная величина.

График можно построить, раскрыв модуль. Для неотрицательных значений  получим график функции . Для отрицательных будет график функции: . Полученная кривая – и есть график функции  («галочка») (см. рис. 16).

Рис. 16. График функции модуля

Мы разобрали простейшие функции с использованием различных операций. Для линейной функции мы рассмотрели ее общий вид, для остальных функций лишь их частные случаи. Рассматривать общий вид параболы, обратной пропорциональности и модуля мы будем в следующем уроке.

Стоит отметить, что рассмотренных функций достаточно для описания множества процессов. В природе в основном встречаются процессы, которые достаточно точно можно описать с помощью линейных, квадратичных и обратных зависимостей. Если зависимость более сложная то можно аппроксимировать ее, т. е. приблизительно описать, с помощью этих более простых функций.

---

 

Интерполяция и аппроксимация

При проведении различных исследований возникает такая задача: по некоторым известным значениям функции попытаться восстановить саму функцию (график или формулу) (см. рис. 17). Если мы знаем, что функция линейная, то достаточно двух значений (прямая однозначно задается двумя точками).

Рис. 17. Восстановление функции по некоторым известным значениям функции

Например, сила растяжения пружины зависит от растяжения пружины по закону Гука (см. рис. 18):

Достаточно измерить силу для двух различных значений растяжения пружины, чтобы найти жесткость пружины (коэффициент ) и восстановить функцию (см. рис. 19).

Рис. 18. Закон Гука

Рис. 19. Восстановление функции при помощи закона Гука

Но можно ли попытаться восстановить функцию, не зная, какой вид она имеет (см. рис. 20)?

Рис. 20. Восстановление функции без информации о виде функции

Такая задача называется аппроксимацией – на основании экспериментального набора значений функции в нескольких точках построить функцию, на которую с высокой точностью попадут получаемые в ходе эксперимента значения (как те, что у нас уже есть, так и остальные, которые можно получить).

Если мы хотим, чтобы построенной функции точно принадлежали все имеющиеся значения функции, то этот частный случай аппроксимации называется интерполяцией.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации (т. е. приближении) какой-либо сложной функции другой, более простой функцией.

Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но для некоторых задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Подробнее почитать об интерполяции и аппроксимации можно в интернете.

---

 

Нули функции

Мы уже выяснили, с чем работает такой инструмент, как функции, разобрали свойства простейших составляющих этого инструмента. Теперь выделим некоторые характерные моменты, которые помогут при исследовании функций и их графиков.

Часто при оценке значения функции мы сравниваем ее с нулем. Например, это график температуры на улице, графики зависимости скорости, силы в физике, график прибыли в экономике и прочие (см. рис. 21).

Рис. 21. Сравнение функции с нулем

Аргументы, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции. Исходя из определения понятно, что для нахождения нулей функции нужно найти решения уравнения:

Про нули базовых функций можно сказать следующее (см. рис. 22):

1. нулем линейной функции  является:

(при : решение уравнения );

2. функция  не имеет нулей;

3. функции , , ,  имеют нуль в точке:

Рис. 22. Нули базовых функций

Нули функции разбивают ось  на промежутки, на которых функция принимает значения только одного знака: либо только положительные, либо только отрицательные. Их так и называют – промежутки знакопостоянства.

Кроме нулей, эти промежутки еще могут определяться недопустимыми значениями аргумента. Так, например, происходит у функции . Функция не имеет нулей, но есть недопустимое значение аргумента: . Это значение разбивает ось на два промежутка: при  функция принимает положительные значения, при – отрицательные.

---

 

Непрерывные функции. Теорема Больцано-Коши

Рассмотренные нами графики функций выглядят по-разному. Так, график прямой, модуля, параболы можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги. А вот с графиком гиперболы так не получится.

На самом деле, можно выделить два больших класса функций – непрерывные и разрывные (см. рис. 23). На бытовом уровне определение непрерывной функции мы только что сформулировали – их график можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги. Есть более строгое математическое определение, но мы не будем его сейчас приводить – интуитивного понимания нам вполне достаточно.

Рис. 23. Непрерывная и разрывная функции

Непрерывные функции обладают важным свойством: пусть на отрезке  она принимает значения , , для определенности:  (см. рис. 24). В этом случае для любого  существует такое , что . Это утверждение называется теоремой Больцано-Коши.

Рис. 24. На отрезке  функция: , ,

Это свойство вполне понятно – если не «прыгать», то пройти со ступеньки  на ступеньку  можно только пройдя все промежуточные ступеньки. Из этого следует, что для смены знака «плюс» на «минус» или наоборот функция обязательно должна пройти через . Именно поэтому непрерывную функцию на промежутки знакопостоянства разбивают только ее нули.

А вот если у функции есть разрывы, то смена знака может произойти еще и в точках разрыва (как это происходит в случае гиперболы).

---

 

Возрастание и убывание функции

Кроме непосредственно значений функции важно понимать, как изменяется ее значение с изменением аргумента, т. е. уметь анализировать поведение функции. Так, говорят, что функция возрастает, если при увеличении аргумента значение функции увеличивается. Соответственно, функция убывает, если при увеличении аргумента значение функции уменьшается. Или более строго:

1. Функция называется монотонно возрастающей (см. рис. 25), если для любых  верно, что .

2. Функция называется монотонно убывающей (см. рис. 26), если для любых  верно, что .

Рис. 25. Монотонно возрастающая функция

Рис. 26. Монотонно убывающая функция

Для базовых функций:

1. Линейная функция  является возрастающей для  и убывающей для .

Рис. 27. Возрастающая линейная функция

Рис. 28. Убывающая линейная функция

2. Функция  является возрастающей.

Если функция не является монотонной на всей области определения, то говорят о монотонности на отдельных промежутках:

1. Функция  убывает на двух промежутках:

2. Функции  убывают при  и возрастают при :

Гораздо легче определить возрастание и убывание функции в тех случаях, когда функция задана графически: если при движении слева направо график функции идет вверх, то функция возрастает. Если вниз, то убывает.

Четность функции

Для упрощения анализа функции в ней можно выделить похожие или повторяющиеся части. Заметим, что функции  и  состоят из двух частей, которые являются зеркальным отражением друг друга (см. рис. 29).

Рис. 29. Графики функций  и

В математике говорят, что такие фигуры симметричны относительно оси, в данном случае относительно оси . Для функции это значит, что противоположным значениям аргумента  соответствуют одинаковые значения функции:

Функции, для которых выполняется это соотношение, называются четными функциями. Они получили такое название, поскольку функции всех степеней с четным показателем обладают этим свойством (, ,  и т. д.).

Аналогично посмотрим на функцию с нечетным показателем:  (см. рис. 30).

Рис. 30. Кубическая парабола

Если отразить часть ее графика относительно одной, а затем относительно второй оси – получим вторую часть графика. Или еще говорят, что эти две части графика симметричны относительно центра координат. При этом противоположным значениям аргумента  соответствуют противоположные значения функции:

Функции, для которых выполняется это соотношение, по аналогии называются нечетными функциями.

Если же для функции не выполняется ни одно из равенств:  или , то она называется функцией общего вида (см. рис. 31).

Рис. 31. Функции общего вида

Периодичность функции

Кроме того, значения функции могут повторяться через некоторый промежуток аргумента. Такие функции называются периодическими (см. рис. 32).

Рис. 32. Периодические функции

Они описывают любые повторяющиеся процессы, например колебания в физике. Примером повторяющейся функции может быть зависимость угла поворота стрелки часов от времени . С другими примерами периодических функций вы познакомитесь в старших классах, а пока что мы ограничимся определением.

Функция называется периодической с периодом T, если для каждого значения аргумента выполняется соотношение:

На графике это будет выглядеть как одинаковые повторяющиеся участки шириной T.

Исследование функции по графику

Задание 2. Исследовать функцию по ее графику (см. рис. 33).

Рис. 33. Иллюстрация к заданию 2

Решение

1. Значения аргумента изменяются от  до . Это область определения функции:

2. По графику видим, что максимальное значение функции равно , минимальное . Таким образом, область значений:

3. Значение функции равно нулю там, где она пересекает ось , т. е. нули функции:

4. Функция принимает положительные значения  на интервалах:

Функция принимает отрицательные значения  на интервалах:

5. Функция возрастает на промежутках:

Функция убывает на промежутках:

6. Функция не является симметричной ни относительно оси , ни относительно центра координат. Значит, функция общего вида. Также она не является периодической.

Обратная функция

Вернемся к определению функции: это такое соответствие между множествами, когда каждому элементу из первого множества  ставится в соответствие единственный элемент из другого множества . То есть по значению аргумента мы находим значение функции.

А можно ли выполнить обратную операцию: по значению функции определить значение аргумента? Да, для этого нам нужно поставить в соответствие элементу из множества  элемент из множества . Но не всегда это можно сделать однозначно. Например, у параболы почти каждому значению функции (кроме ) будут соответствовать два значения аргумента.

В тех случаях, когда такое обратное соответствие можно сделать однозначно, мы получим в результате новую функцию, которая называется обратной функцией к исходной.

Тот факт, что не к любой функции можно однозначно восстановить исходную, не должен нас удивлять. Если вы увидели на часах , то, не имея дополнительной информации (например, в комнате без окон), не сможете определить, сейчас  часов дня или ночи.

Рассмотрим линейную функцию:

Здесь мы значению аргумента  ставим в соответствие значение . Чтобы получить обратную функцию, нужно сделать наоборот: поставить значению  в соответствие значение . Для этого просто выразим из формулы  через y:

Или (см. рис. 34):

Рис. 34. Графики функций  и

Получили однозначное соответствие. Т. е. это функция, причем теперь  – аргумент, а  – значение функции. Но обычно переходят к привычным обозначениям:  – аргумент, а  – значение функции. Просто заменив буквы, получим:

Итак, функция, обратная линейной функции, также является линейной, только с угловым коэффициентом  и свободным коэффициентом . Функция  является обратной самой себе, ведь, если мы выразим из нее , получим:

Вернувшись к привычным обозначениям, получим ту же функцию:

А вот с функцией  получается более интересная ситуация. Попробуем выразить . Получим:  или . Это уже не функция, т. к. нет однозначного соответствия. Это видно и по графику: одному значению y соответствует два значения . Правая ветвь соответствует: , левая:  (см. рис. 35).

Рис. 35. Графики функций , ,

Чтобы записать обратную функцию, выбирают одно из значений, обычно положительное, т. е. . Или, после замены обозначений: . Т. е. функция является обратной к функции . Поэтому неудивительно, что графики этих функций имеют похожую форму.

Обратите внимание: графики обратных функций зеркально симметричны исходным графикам или их частям относительно прямой  (см. рис. 36).

Рис. 36. Графики обратных функций зеркально симметричны исходным графикам или их частям относительно прямой

И это не случайно: если точка  принадлежит графику прямой функции, то точка с координатами  будет принадлежать графику обратной (если у нее вообще есть прообраз). А такие точки симметричны друг другу относительно прямой .

 

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал math-prosto.ru
2. Интернет-портал yaklass.ru
3. Интернет-портал cleverstudents.ru

 

Домашнее задание

1. Какие из перечисленных точек принадлежат графику функции :

2. Найти нули квадратичной функции .

3. Пересекают ли график функции  прямые  и ? Если да, то найти точку пересечения.