Рассмотрим несколько более сложных примеров на упрощение выражений с корнями.

Задание 4. Упростить выражение:

Найти его значение при:

Решение.

Для применения любого из свойств корней необходимо, чтобы подкоренное выражение представляло собой произведение и частное некоторых выражений. Поэтому попробуем разложить подкоренное выражение на множители.

В выражении присутствует , значит, чтобы оно имело смысл, должен быть неотрицательным:

В таком случае можно представить так:

А число представить так:

Тогда:

Видим формулу квадрата разности :

квадрат первого выражения – это ;
квадрат второго выражения – это ;
удвоенное произведение – это .

По формуле сокращенного умножения получаем:

Подставим это в исходное выражение:

По свойству корня :

Мы упростили выражение. Теперь найдем его значение при . Сначала вычислим значение :

Переведем смешанную дробь в неправильную:

Воспользуемся свойством корня , где :

Получаем, что , при Тогда:

Ответ:

Задание 5. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение.

Чтобы подкоренное выражение имело смысл, необходимо, чтобы:

При возведении в нечетную степень знак остается прежним, т. е.:

Тогда должно быть отрицательным (или нулем), чтобы произведение было неотрицательным, т. е.:

Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них являлся квадратом некоторого выражения:

Воспользовавшись свойствами степени, получаем:

, где

Величина всегда неотрицательна, , поскольку . Значит:

Ответ: .

Внесение множителя под знак корня

Мы рассмотрели, как выносить множитель из-под знака корня. Посмотрим теперь, как выполнять обратную операцию – вносить множитель под корень.

Задание 1. Внести множитель под знак корня:

при

Решение.

Корень всегда неотрицательное выражение. Т. к. , то . Значит, выражение будет неотрицательным. Т. е. когда мы внесем множитель под знак корня, перед корнем должен остаться знак «плюс».

Воспользуемся свойством корней:

Чтобы проверить, можно выполнить обратную операцию:

, т.к.

Ответ: .

Задание 1*. Внести множитель под знак корня:

при

Решение.

Как меняется решение, когда перед этим выражением стоит знак «минус»? Тогда выражение будет отрицательным, т. к. . Значит, после внесения множителя перед корнем должен появиться знак «минус», т. к. в результате эквивалентных преобразований знак выражения измениться не может:

Получим:

Чтобы проверить, можно выполнить обратную операцию:

, т.к.

Ответ: .

Задание 6. Упростить выражение:

Решение.

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой разности квадратов :

Теперь воспользуемся определением квадратного корня:

Получим:

Заметьте, что в условии ничего не говорилось об ограничениях на значения переменных. Значит, речь идет обо всех допустимых значениях, т. е. можем сделать вывод, что .

Ответ: .

Задание не слишком сложное, но оно имеет важно применение. Обратите внимание, что в исходном выражении содержались квадратные корни, а в преобразованном – нет. О таком упрощении говорят, что мы избавились от иррациональности.

Задание 7. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

Решение.

Как мы увидели в предыдущем примере, чтобы избавиться от иррациональности, нужно перемножить два выражения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

Чтобы сделать это в данном случае, умножим числитель и знаменатель дроби на . Такое выражение, которое отличается лишь знаком одного слагаемого от , еще называют сопряженным.

Получим:

Применим формулу сокращенного умножения в знаменателе:

Тогда:

Теперь в знаменателе нет корней, т. е. мы избавились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: .

В случае когда в знаменателе есть только одно слагаемое, избавиться от иррациональности еще проще: нужно умножить на это же выражение.

Например:

Заключение

Кроме рассмотренных выше, есть еще и другие типичные виды заданий на упрощение выражений с квадратными корнями. Но все они сводятся к использованию указанных выше свойств, а также разобранных методов: выделение квадрата, разложение на множители, внесение и вынесение множителя из-под знака корня. Поэтому с ними вы также легко справитесь!

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
Интернет-портал youclever.org (Источник)
Интернет-портал mathematics-tests.com (Источник)

Домашнее задание

1. Выполнить:

a. Вынести множитель из-под знака корня:

б. Внести множитель под знак корня:

2. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

3. Выполнить действия и найти значение при :