Функция у = ах2 + bx +c
Функция 
Определения
Многочлен 
, где 
– числа (коэффициенты, 
) называется квадратным трёхчленом.
– старший член
– старший коэффициент
Функцию 
, где , называют квадратичной функцией. , b, c определяют конкретную квадратичную функцию. Например,
Уравнение 
называют квадратным, если 
.
Задача этого урока – изучение квадратичной функции 
, где .
До этого урока был изучен частный случай квадратичной функции, а именно 
, где , 
и 
.
Рис. 1. Парабола
Вершина данной параболы расположена в точке 
, а коэффициент 
и 
в первом случае (
); 
во втором случае (
).
Чтобы перейти к общему случаю, нам следует усложнить частный случай 
.
Например, возьмем функцию 
. Если мы её усложним до 
, то получим полноценную квадратичную функцию: 
, где 
.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
Возьмем другой пример: 
, где 
.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Вершина данного графика будет находиться в точке 
. Отсюда следует вывод, что графики 
и 
имеют один и тот же шаблон (параболу 
), но с разным расположением вершины.
Метод выделения полного квадрата
Шаблон кривой 
есть парабола 
.
Рис. 4. Парабола
Доказательство основано на методе выделения полного квадрата.
Формула
Примеры
1. 
2. 
Пример 
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
Вывод подтвердился: шаблоном графика функции 
есть парабола .
Метод выделения полного квадрата. Общий случай
Сначала выносим «а» за скобки:
Теперь выделим удвоенное произведение и второе число:
Затем выделим полный квадрат:
Приведем к общему знаменателю 
и 
:
Функция имеет вид:
Парабола 
является шаблоном кривой 
.
График функции у = ах2 + bx +c
Чтобы построить график функции 
необходимо:
1. Построить параболу
2. Выполнить параллельный перенос параболы так, чтобы её вершина совместилась с точкой 
.
– ось параболы
Свойства функции аналогичны свойствам функции .
Задачи
Задача 1. Построить и прочесть график функции 
Решение:
1. Найти координаты вершины.
2. Построить несколько точек (или использовать шаблон)
3. Получить искомую кривую 
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Функция убывает, если 
. Функция возрастает, если 
.
Задача 2. Перечислить основные свойства 
Решение:
Используем свойства
1. 
2. 
– не существует
3. 
при ; 
при
4. непрерывна
5. выпукла вниз
Задача 3.Найти все значения параметра а, при каждом из которых 
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
1. 
2. строим график функции 
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Ответ: 
.
Объяснение к данному ответу:
По смыслу множества значений 
: значения функции из , и только они, достигаются хотя бы при одном значении 
из ОДЗ.
Задача 4. Определите знаки 
функции 
по её графику 
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Решение:
1. 
2. 
(ветви направлены вверх)
3. 
(так как 
) 
Ответ: 
.
Задача 5. Дано: 
; 
. Найти: 
.
Решение:
1.
2. 
3. строим график 
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Ответ: 
.
Вывод
Итак, мы рассмотрели квадратичную функцию , где . Выяснили, что шаблоном для ее графика является парабола у = ах2.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
- № 22.11, 22.16, 22.19 стр. 140–141. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
