1. Для (правая ветвь):

- при стремящемся к плюс бесконечности, стремится к нулю:

, , следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.

Асимптота (от греческого asimptotos – «несовпадающая») – прямая, к которой бесконечная ветвь кривой приближается неограниченно.

- при стремящемся к нулю, стремится к плюс бесконечности:

, , следовательно, ось – это вертикальная асимптота.

Для (левая ветвь):

- при стремящемся к минус бесконечности, стремится к нулю:

, , следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.

- при стремящемся к нулю, стремится к минус бесконечности:

, , следовательно, ось – это вертикальная асимптота.

2. Для (правая ветвь)

Возьмём любые две точки и , получим отрезок и дугу . Дуга находится под отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вниз при.

Для (левая ветвь)

Возьмём любые две точки и , получим отрезок и дугу . Дуга находится над отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вверх при (см. Рис. 4).

Рис. 4. Исследование функции

Напоминание

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

Точки и симметричны относительно прямой , если она служит срединным перпендикуляром к отрезку (см. Рис. 5).

Осевая симметрия

Рис. 5. Осевая симметрия

Центральная симметрия (симметрия относительно точки)

Точки и симметричны относительно точки , если отрезок равен отрезку (см. Рис. 6).

Центральная симметрия

Рис. 6. Центральная симметрия

3. Построим прямую . Если перегнуть график исследуемой функции через эту прямую, то ветви совместятся. Например, точка совместится с точкой . Следовательно, прямая является срединным перпендикуляром к отрезку . Таким образом, прямая – это ось симметрии графика (см. Рис. 7).

Ось симметрии гиперболы

Рис. 7. Ось симметрии гиперболы

4. Точка с координатами – центр симметрии графика .