02. Функция y = k/х, её свойства и график

Функция y(x) = k/x

, где:

– независимая переменная (аргумент);

– зависимая переменная (функция);

– коэффициент (число).

График функции – это множество точек , где .

Функция y(x) = 1/x

Коэффициент  может принимать любые значения, кроме . Рассмотрим сначала случай, когда ; таким образом, сначала речь пойдет о функции .

Чтобы построить график функции , дадим независимой переменной  несколько конкретных значений и вычислим (по формуле ) соответствующие значения зависимой переменной  . Результаты запишем в таблицу: одна таблица для , другая – для .

Построим найденные точки ,,,,, на координатной плоскости  и соединим их, при этом получим правую ветвь графика (см. рис. 1).

Построим найденные точки ,,, на координатной плоскости  и соединим их, при этом получим левую ветвь графика (см. рис. 2).

Объединим эти две ветви (см. рис. 3). Это и есть график функции , его называют гиперболой.

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. 

Исследование графика y(x) = 1/x

1. Для  (правая ветвь):

- при , стремящемся к плюс бесконечности, стремится к нулю:

,, следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.

Асимптота (от греческого asimptotos – «несовпадающая») – прямая, к которой бесконечная ветвь кривой приближается неограниченно.

- при , стремящемся к нулю, стремится к плюс бесконечности:

,, следовательно, ось – это вертикальная асимптота.

Для  (левая ветвь):

- при , стремящемся к минус бесконечности, стремится к нулю:

,, следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.

- при , стремящемся к нулю, стремится к минус бесконечности:

,, следовательно, ось – это вертикальная асимптота.

2. Для  (правая ветвь)

Возьмём любые две точки  и , получим отрезок  и дугу . Дуга находится под отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вниз при .

Для  (левая ветвь)

Возьмём любые две точки  и , получим отрезок  и дугу . Дуга находится над отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вверх при (см. рис. 4).

Напоминание

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

Точки  и  симметричны относительно прямой , если она служит срединным перпендикуляром к отрезку (см. рис. 5).

Центральная симметрия (симметрия относительно точки)

Точки  и  симметричны относительно точки , если отрезок  равен отрезку  (см. рис. 6).

3. Построим прямую . Если перегнуть график исследуемой функции через эту прямую, то ветви совместятся. Например, точка совместится с точкой . Следовательно, прямая  является срединным перпендикуляром к отрезку . Таким образом, прямая – это ось симметрии графика (см. рис. 7).

4. Точка с координатами – центр симметрии графика .

Свойства функции y(x) = k/x при k>0

Мы рассмотрели свойства функции , эти же свойства сохранятся для функции  при любом (см. рис. 8).

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .

2. Числа  и  одного знака, следовательно:

 при

  при  

3. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Это следует из того, что .

4. При  функция убывает и является выпуклой вверх; при  функция убывает и является выпуклой вниз.

5. Точка – центр симметрии гиперболы.

6. Прямая  ось симметрии гиперболы.

Доказательство осевой симметрии гиперболы

Дан график функции .

1. Пусть – это любое значение аргумента из области определения. Тогда на ветви гиперболы имеем точку .

2. Пусть – это любое значение аргумента из области определения. Тогда на ветви гиперболы имеем точку .

Необходимо доказать, что произвольно выбранная точка  симметрична точке  относительно прямой (см. рис. 9).

Доказательство

1. Отметим на оси абсцисс точку , а на оси ординат – точку (см. рис. 10).

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники  и . Эти треугольники равны по двум катетам (;). Из равенства этих треугольников следует:

а) ;

б) ;

в)  (так как прямая  является биссектрисой координатного угла, а )

3. Рассмотрим треугольник : он равнобедренный, прямая  лежит на биссектрисе этого треугольника. Известно, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, исходящая из угла, образованного равными сторонами, является также и высотой, и медианой. Следовательно, прямая  является срединным перпендикуляром к отрезку ; произвольно выбранная точка  симметрична точке  относительно прямой .

Так как точки были выбраны произвольно, то и вся кривая  симметрична относительно оси .

Свойства функции y(x) = k/x при k<0

При  ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах (см. рис. 11).

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .

2. Числа  и  разного знака, следовательно:

 при

  при  

3. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

4. При  функция возрастает и является выпуклой вниз; при  функция возрастает и является выпуклой вверх.

5. Точка – центр симметрии гиперболы.

6. Прямая  ось симметрии гиперболы.

Список литературы

1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.

2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5 из­да­ние. М.: Про­све­ще­ние, 2010.

3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

4. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Мнемозина, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «studyport.ru» (Источник).

2. YouTube (Источник).

Домашнее задание

1. Упражнения 100, 101, 102 (стр. 39) Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс.

2. а) Для каких x определена функция ?

б) Является ли функция  убывающей для положительных ?

в) К чему стремится , когда положительное  стремится к 0?

г) Является ли функция  непрерывной для положительных ?