Теперь попробуем поменять , пока будем брать его только положительным.

Например, возьмем и . Если строить графики по точкам, то можно увидеть, что при (см. рис. 3).

Рис. 3. Графики функций (синий график) и (красный)

Хоть мы и привели всего три примера, но уже можно сделать некоторые выводы относительно функции , при . Во-первых, график такой функции лежит в верхней полуплоскости. И это логично: если квадрат числа (неотрицательное число) умножить на положительное число , то результат будет неотрицателен.

Свойство 1. Множество значений функции при – все неотрицательные числа ().

Далее отметим, что при подстановке в данную функцию мы все равно получим . Поэтому можем сформулировать еще одно свойство.

Свойство 2. График при симметричен относительно оси (см. рис. 4).

Рис. 4. Четность функций

Такие функции называются четными.

Подробнее о свойствах функций

Итак, мы с вами говорим о некоторой функции . Выделим несколько ее свойств.

1. Четность. Говорят, что функция четна, если для любого из ее области определения . Например, – четные функции.

График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат (см. рис. 5).

Рис. 5. Симметрия графика четной функции относительно оси ординат

Аналогично функция называется нечетной, если для любого из ее области определения . В частности, – нечетные функции. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность. Говорят, что функция возрастает (строго) на некотором промежутке, если для любых . Если же для всех таких : , функция убывает на данном промежутке.

Например. . Тогда, если , то (т.к. ). Значит, функция возрастает при положительных . Аналогично доказывается, что она убывает при отрицательных .\\

По графикам и по уравнению функции видно, что ее наименьшее значение достигается в нуле и равно оно нулю (действительно, квадрат любого другого числа строго положителен). Наибольшего значения нет: чем больше мы возьмем по модулю , тем больше получится .

Свойство 3. График при возрастает при положительных и убывает при отрицательных (см. рис. 6).

Рис. 6. Убывание и возрастание функции