Мы рассмотрели, как меняется аналитический вид функции при различных преобразованиях ее графика. Проанализируем полученные результаты.

1. Сдвиг графика вверх соответствует прибавлению положительного числа к значению функции , сдвиг вниз соответствует вычитанию .

Прибавление и вычитание положительного числа аналогично прибавлению положительного или отрицательного числа. То есть сдвиг графика вдоль оси соответствует преобразованию:. Причем при происходит сдвиг вверх, при – сдвиг вниз (см. рис. 25).

Рис. 25. Графики функции при и

2. Аналогичным образом можем обобщить и движение вдоль оси . Ему соответствует преобразование , причем при происходит сдвиг влево, при – сдвиг вправо (рис. 26).

Рис. 26. Графики функции при и

3. Растяжение вдоль оси соответствует умножению на положительное число , сжатие – делению , симметрия относительно оси – умножению на . Эти три действия мы можем обобщить умножением на число.

То есть изменение размеров вдоль оси и симметрия относительно оси соответствуют преобразованию . Причем при получим растяжение графика, при – сжатие (см. рис. 27). При график симметрично отразится относительно оси . Причем для он еще и сожмется; при – растянется (см. рис. 28).

Рис. 27. Графики функции при и

Рис. 28. Графики функции при и

4. Аналогично можно обобщить растяжение и сжатие вдоль оси , а также симметрию относительно оси . Им будет соответствовать функция . Причем при график сожмется относительно оси , при – растянется (см. рис. 29). При график симметрично отразится относительно оси . Причем для он еще и растянется; при – сожмется (см. рис. 30).

Рис. 29. Графики функции при и

Рис. 30. Графики функции при и

Теперь мы знаем, как при различных преобразованиях график меняется аналитический вид функции. Но на практике нам понадобится обратная связь: меняя аналитический вид функции, мы будем смотреть, как изменяется ее график. Мы получили основных преобразования:

1. Прибавление числа к функции:

2. Прибавление числа к аргументу:

3. Умножение значения функции на число:

4. Умножение аргумента на число:

Кроме того, мы уже знаем, как выглядят графики некоторых базовых функций (см. рис. 31):

1. Обратная пропорциональность:

2. Квадратичная функция:

3. Кубическая функция:

4. Функция квадратного корня:

5. Функция модуля:

Рис. 31. Графики некоторых базовых функций