Тема: Квадратные уравнения
Урок: Повторение теории. Задачи повышенной сложности
1. Повторение теории
Как мы с вами помним, основой теории данной темы являются формулы для вычисления корней квадратного уравнения, формула разложения квадратного трёхчлена на множители и теорема Виета.
Довольно много задач в математике сводится к решению квадратных уравнений. Некоторые примеры подобных задач мы с вами сейчас рассмотрим.
2. Решение задач
Задача №1
Решите уравнение 
.
Перед нами обычное квадратное уравнение, которое, однако, имеет некоторое осложнение в виде модуля.
Для начала давайте вспомним, что такое модуль: 
.
Из определения модуля следует правило решения квадратных уравнений, которые содержат модуль: при решении квадратных уравнений, в которых содержится модуль, необходимо раскрыть этот модуль на основе стандартного определения модуля.
Решение
Мы имеем уравнение . По определению модуля, он раскрывается на 2 случая, так что теперь рассмотрим эти случаи отдельно:
|
Если мод модулем у нас стоит число, больше или равное 0, то значок модуля мы можем просто выбросить, при этом не забывая про знак числа.
|
Если мод модулем у нас стоит число отрицательное, то мы убираем значок модуля, но при этом меняем знак числа, находящегося под знаком модуля.
|
После раскрытия модуля мы можем сказать, что исходное уравнение равносильно совокупности систем, полученных после раскрытия модуля, т. е.
ó 
.
Теперь решим каждую из систем отдельно:
(а) 
Мы помним, что произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, т. е. 
=> 
.
Теперь давайте вспомним, что у нас было условие, что 
, поэтому после нахождения корней в данном случае мы должны проверить, удовлетворяют ли они нашему условию:
. Таким образом, мы видим, что оба корня удовлетворяют условию, поэтому мы можем сказать, что 
– корни заданного уравнения.
Но теперь давайте вспомним, что корней может быть и больше, т. к. есть второй вариант раскрытия модуля. Давайте решим его:
(б) 
Как и в случае (а), решаем данное уравнение, получая следующие корни: 
=>
.
Далее вспоминаем об условии решения данной части исходного уравнения (
) и проверяем, удовлетворяют ли этому условию корни, которые мы получили:
– это неправильное равенство, поэтому корень 
не является корнем исходного квадратного уравнения при условии, что . Проверим второй корень: 
– этот корень удовлетворяет условиям, поэтому можем записать следующую систему: 
.
Итак, первая система (а) дала нам два корня, вторая система (б) дала один корень, поэтому теперь в ответ мы можем выписать все найденные нами корни исходного квадратного уравнения.
Ответ: 
.
Итак, в этом примере мы решили квадратное уравнение, которое было осложнено модулем, где вместо простого решения квадратного уравнения нам пришлось решать две системы уравнений.
Задача №2
Решите уравнение 
.
Если в данном случае мы просто «в лоб» возведём в квадрат первую скобку, то получим уравнение четвёртой степени, которое решать будет уже сложнее. Помимо этого, мы такого раньше не делали, т. е. это является для нас подсказкой к следующим действиям. Вместо этого мы воспользуемся методом «замены переменных», т. е. вместо какого-то выражения мы подставим на время другую переменную и решим исходное уравнение относительно неё.
Решение
Итак, сделаем следующую замену: 
, тогда мы получим следующую систему:
А теперь решим новое квадратное уравнение относительно y с помощью теоремы Виета:
=> 
.
Теперь необходимо вернуться к исходной системе и сделать обратную замену: 
Таким образом мы получили корни исходного квадратного уравнения, используя метод замены.
Ответ: 
.
Задача №3
Решите уравнение 
.
Мы говорили, что в предыдущем примере метод замены был довольно явно виден невооружённым глазом, в данном же случае, на первый взгляд, абсолютно не понятно, как же решать данное уравнение. Однако мы понимаем, что раскрывать скобки и приводить это уравнение к уравнению четвёртой степени – это неправильно и сложно, поэтому будем искать замену переменных.
Решение
Поскольку на первый взгляд нам не понятно, какую же делать замену, можно сделать это наугад, а можно чуть помочь себе, записав исходное уравнение следующим образом:
, теперь нам видно, что 
, поэтому попробуем объединить первую с четвёртой скобки и вторую с третьей.
Теперь мы видим, какую же замену переменных стоит сделать:
Решим новое квадратное уравнение
Решим полученное уравнение с помощью обратной теоремы Виета:
Не забываем, что необходимо проверить, существуют ли корни данного уравнения в принципе, для этого посчитаем дискриминант получившегося квадратного уравнения: 
, т. е. у данного выражения корни есть.
=> 
Теперь делаем обратную замену.
И подставляем полученные значения вместо 
в уравнения:
(б)
Вычислим дискриминант:
, поэтому в данном случае не существует ни одного корня.
Т. е. в данном случае нет корней (это также можно записать символами 
, где 
.
(а)
Вычислим дискриминант:
> 0, поэтому существует два различных вещественных корня. Найдём их.
.
Ответ: 
.
Мы рассмотрели несколько примеров, где решение уравнений осуществляется с помощью приведения их к виду обычного квадратного уравнения путём замены переменных.
Задача №4
Решите уравнение 
.
Мы видим, что первая и вторая скобки похожи, но в первой 
возведён в квадрат.
Предположительно сделаем следующую замену: 
Что же нам теперь делать с первой скобкой? Необходимо тоже выразить её через y. Для этого возведём обе части в квадрат:
Вернёмся к исходному уравнению и запишем его использовав замену:
А теперь решим данную систему:
По теореме Виета находим корни:
=> 
Теперь делаем обратную замену:
Поскольку такие уравнения решать мы умеем, то только наметим их ход решения: сведём их к квадратному, учитывая, что знаменатель не равен 0, и решим каждое в отдельности.
Решением всей задачи будет следующий ответ: 
.
Ответ: .
3. Выводы
Итак, мы повторили теорию, связанную с квадратными уравнениями (основные формулы, теорему Виета и формулы разложения на множители). Затем рассмотрели более сложные задачи, а именно решение квадратных уравнений или тех, которые сводятся к квадратным, методом замены переменных.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Решите уравнения: а)
; б) 
; - Найдите сумму квадратов корней уравнения: а)
; б) 
; - Тест к главе 3 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
