Найти все , при каждом из которых отношение корней уравнения равно 12.

Решение

Есть параметр . При некоторых значениях у уравнения может вообще не быть корней, при других значениях корни будут , но нужно подыскать такие значения параметра, при которых корни отличаются в 12 раз.

Сформируем систему, из которой мы найдем :

Мы получили систему трех уравнений относительно трех неизвестных: , , .

Решим систему. Заметим, что первые два уравнения зависят только от и , если мы их решим, то подставим в третье уравнение и найдем .

Подставим значение из первого уравнения во второе:

Рассмотрим оба варианта :

a)

Подставляем в третье уравнение:

Первый ответ получен.

b)

Подставляем в третье уравнение:

Ответ:; .

Задача решена.

Сделаем следующие примечания: при найденных система

имеет решение, значит, и само квадратное уравнение имеет решение и проверять дискриминант не нужно. Дискриминант будет больше нуля, поскольку система и квадратное уравнение равносильны в силу теоремы Виета.