1 этап (составление математической модели) в геометрической задаче
На прошлом уроке мы рассмотрели решение текстовых задач с помощью составления рациональных уравнений.
На этом уроке мы продолжим изучение этой темы.
Рассмотрим пример геометрической задачи, которая решается с помощью рационального уравнения.
Задача 1
Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см. Один катет этого треугольника на 4 см больше другого. Чему равны стороны прямоугольного треугольника?
Решение:
Решение задачи сводится к нескольким этапам.
1 этап – Составление математической модели
Рассмотрим данный прямоугольный треугольник (см. Рис. 1).
Рис. 1
Обозначим меньший из катетов как 
. Тогда второй катет равен 
. Выразим теперь через переменную длину гипотенузы. Для этого воспользуемся тем, что периметр данного треугольника равен 
. Обозначим гипотенузу как 
. Тогда: 
.
Теперь запишем теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника:
.
Мы получили математическую модель данной задачи.
Перейдем ко второму этапу решения задачи.
2 этап (работа с математической моделью) в геометрической задаче
2 этап – Работа с математической моделью
Раскроем скобки полученного уравнения:
.
Поделим обе части уравнения на 2:
Это квадратное уравнение. Выпишем его коэффициенты: 
. Тогда корни данного уравнения находим по известной формуле: 
.
3 этап (ответ на поставленный вопрос) в геометрической задаче
3 этап – Ответ на вопрос задачи
Так как за 
мы обозначали меньший катет треугольника, то теперь найдем оставшиеся стороны треугольника в обоих случаях.
Если 
, то второй катет равен 
, а гипотенуза: 
. Поскольку длина гипотенузы не может быть отрицательной, то меньший катет не может равняться 80 сантиметрам.
Если 
, то второй катет равен 
, а гипотенуза: 
. Это и будет ответ данной задачи.
Ответ: 
.
1 этап (составление математической модели) для текстовой задачи
Рассмотрим еще один пример.
Задача 2
Задумано двухзначное число. Известно, что сумма квадратов цифр заданного числа равна 58. Если цифры заданного числа поменять местами, то получится двухзначное число, которое больше заданного на 36. Какое число задумали?
Решение
Обозначим задуманное число 
. Что означает эта запись? Горизонтальная черта сверху над числом означает, что мы записали не произведение чисел 
, а именно двухзначное число, первая цифра которого (количество десятков) – , а вторая – 
(количество единиц).
То есть, фактически, можно записать это следующим образом: 
.
Рассмотрим несколько поясняющих примеров. Число 31 – это число, которое состоит из 3 десятков и 1 единицы. Получаем: 
. А число 78 – это число, которое состоит из 7 десятков и 8 единиц. Или: 
. Это правило записи чисел в привычной нам десятичной системе счисления. А вот если мы переставим цифры в числе местами, то получим новое число (это свойство обусловлено тем, что десятичная система является позиционной, то есть «вес» цифры зависит от позиции, на которой она расположена). Например, если переставить цифры в числе 31, то получим число 13: 
. Аналогично, если переставить цифры в числе 78, то получим число 87: 
.
Если рассмотреть более общий пример: 
.
2 и 3 этапы (работа с математической моделью и ответ на поставленный вопрос) для текстовой задачи
Вернемся к решению сформулированной задачи. Мы знаем про 
только то, что это цифры (то есть элементы множества 
), причем не может равняться 0 (так как первая цифра двузначного числа не меньше 1).
Запишем теперь известные нам условия. Во-первых, сумма квадратов цифр исходного числа равна 58. Получаем: 
.
Кроме того, мы знаем, что если переставить цифры местами, то получится число, которое на 36 больше исходного. После перестановки цифр получится число: 
. Запишем равенство: 
. Поделим обе части равенства на 9, получим: 
. Получаем систему уравнений:
Подставим выражение из второго уравнения в первое, получим квадратное уравнение: 
. Обе части этого уравнения разделим на 2 и решим его: 
.
Так как цифра числа не может быть отрицательной, то 
, тогда 
. Значит, задуманное число равно 
.
Ответ: 37.
На этом уроке мы научились составлять математические модели для различных текстовых задач.
На следующем уроке мы выведем еще одну формулу для корней квадратных уравнений.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Рекомендованное домашнее задание
- Для перевозки 60 тонн груза было заказано определенное количество грузовиков. Из-за неисправности двух из них на каждую машину пришлось грузить на 1 тонну больше, чем планировалось. Сколько машин должно было работать на перевозке груза?
- Несколько учеников поделили поровну между собой 180 яблок. Если бы учеников было на 3 меньше, то каждый из них получил бы на 3 яблока больше. Сколько было учеников?
- Печатая каждый день на 3 листа больше, чем планировалось, машинистка закончила работу объемом 60 листов на 1 день раньше, чем планировала. Сколько листов она печатала за один день?
