Системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим решение математических моделей, в которых одновременно должны выполняться несколько условий, а именно – систем уравнений. Мы уже умеем решать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Теперь мы не только обобщим известные методы для решения более сложных систем, но и рассмотрим некоторые новые методы.

Математическая модель

Мы знаем, что первый этап решения любой задачи – составление математической модели.

Необходимо выделить важное, отбросить ненужное и записать условие на математическом языке в таком виде, для которого есть своя техника работы.

На уроках математики мы будем изучать много техник решения различных математических конструкций. Зачем нам это нужно? Овладев техникой решения математической конструкции, мы сможем решить любую задачу, которая сводится к ней.

Этот же прием мы используем в жизни: вместо того чтобы таскать кирпичи руками на 3-й, 4-й, 5-й этажи, мы придумали механизм – лебедку (см. рис. 1), которая облегчает нашу задачу и позволяет поднять кирпичи на любой этаж.

Рис. 1. Лебедка

Иногда может казаться, что изучаемая техника решения задач (решение уравнений, неравенств и т. д.) сама по себе бессмысленна. Если вас будет мучить эта мысль, попробуйте разобрать часы и посмотреть на детали, из которых они состоят. Каждая из них по отдельности кажется бесполезной для определения времени. А вот собранные вместе эти детали позволяют решить важную задачу – узнать время.

Мы знаем, что математическая модель может содержать различные уравнения, неравенства или системы уравнений. Все эти конструкции – аналоги реальных ситуаций, когда объект (или объекты) неизвестен, но кое-что мы про него знаем.

Мы уже владеем техникой решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений:

Кроме того, мы умеем решать системы линейных уравнений.

Сегодняшний урок мы посвятим технике решения более сложных систем уравнений, в которых встречаются не только линейные уравнения, но и те, в которых количество переменных может быть больше, чем 2.

Система уравнений

Прежде чем перейти к технике, вспомним, что такое система уравнений, и разберемся, какие задачи могут нас привести к сложным системам уравнений.

Если сыщик знает про одного преступника, что тот высокий, а про второго, что тот блондин, то эти два условия не объединены в систему, они относятся к разным неизвестным, к разным преступникам.

Если это информация про одного и того же преступника, то это система. Оба условия выполняются одновременно. Одну информацию можно использовать для уточнения другой. Преступник – высокий блондин.

Рассмотрим еще один пример. Пусть нам известно, что дом находится на ул. Гоголя. Вариантов, где точно расположен дом, много – целая улица. Дом находится на проспекте Мира. То же самое – вариантов много. Но если эта информация относится к одному и тому же дому, то сразу понятно, что дом находится на перекрестке (см. рис. 2). Два условия объединены в систему.

Рис. 2. Решение системы – дом находится на перекрестке

Итак, система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно.

В каких же задачах могут возникнуть сложные системы? На уроках физики вы будете говорить о движении тела, брошенного под углом к горизонту (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче о движении тела, брошенного под углом к горизонту

Его движение можно разложить на две составляющие: если не учитывать сопротивление воздуха, то горизонтально тело движется равномерно (на него не действуют силы), а вертикально тело движется равноускоренно (на него действует сила тяжести, т. е. у тела ускорение свободного падения , направленное вниз).

Тогда траекторию тела можно описать следующей системой уравнений:

С уравнением, описывающим равномерное движение, вы уже знакомы, с уравнением, которое описывает равноускоренное движение, познакомитесь позже. Но для нас важен факт: даже решение такой относительно несложной задачи приводит нас к системе уравнений, в которой фигурирует квадрат переменной (в данном случае – времени ).

Рассмотрим другой пример. Представьте, что у производителя товара есть 2 склада с товаром, который нужно развезти по 2 торговым точкам (см. рис. 4). Как это сделать наиболее эффективно (с наименьшими затратами)? Это пример классической задачи логистики – транспортной задачи.

Рис. 4. Иллюстрация к транспортной задаче

Перед вами таблица с информацией о складах и магазинах:

	Склад 1 (100 единиц товара)	Склад 2 (150 единиц товара)
Магазин 1 (нужно 200 единиц товара)	20 рублей/1 товар	15 рублей/1 товар
Магазин 2 (нужно 50 единиц товара)	17 рублей/1 товар	19 рублей/1 товар

Понятно, что у нас есть 4 неизвестных величины, которые нужно найти: сколько товаров везти со склада 1 в магазин 1 и сколько в магазин 2; сколько товаров везти со склада 2 в магазин 1 и сколько в магазин 2.

Моделью даже такой несложной задачи является система из 4 уравнений с 4 неизвестными:

Понятно, что в реальной жизни крупным перевозчикам, торговым и логистическим компаниям приходится решать гораздо более сложные задачи с более сложными моделями.

Решение транспортной задачи

Если обозначить неизвестные величины:

(-й склад – -й магазин),

то получим систему из 4 уравнений с 4 неизвестными:

Первые два уравнения – это описание того, что 1-й магазин получит товаров, а 2-й – . А 3-е и 4-е – описание того, что с 1-го склада уедет товаров, а со 2-го – :

Это условие того, что общая стоимость всех перевозок будет минимальной.

Может показаться, что решением системы из 4 уравнений с 4 неизвестными будет конкретный набор чисел и стоимость перевозки в любом случае будет фиксированная.

На самом деле, это не так. Из выписанной системы можно безболезненно «выкинуть», например, 4-е уравнение – это не повлияет на множество ее решений. Почему так?

Первые два уравнения при сложении говорят, что сумма всех четырех неизвестных равна . Третье уравнение, что сумма и равна . Из этих двух условий автоматически следует, что сумма оставшихся .

Итак, система условий имеет вид:

Используем метод подстановки, чтобы выразить все переменные через одну – подставим выражение из первого уравнения в четвертое:

Полученное выражение для подставим во второе уравнение и получим:

Подставим полученные выражения в формулу стоимости перевозок:

Чтобы эта сумма была минимальной, должен быть максимальным. Поскольку со второго склада нельзя вывезти больше товаров, то , тогда:

Конечно, каждый раз решать транспортную задачу таким образом очень громоздко. Тем более что реальные задачи гораздо сложнее. Поэтому для их решения разработаны более эффективные и надежные методы.

Метод подстановки

Для решения некоторых систем уравнений с большим количеством переменных, конечно, разработаны специальные математические методы, но мы не будем сегодня о них говорить.

Наша задача – отработать технику решения сложных систем уравнений классическими методами, чтобы использовать этот навык для решения целого класса задач.

Вы уже знакомы с методами решения систем линейных уравнений.

Один из методов – метод подстановки, является практически универсальным для решения систем уравнений любой сложности. Действительно, если мы можем выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение во второе уравнение, то получим уравнение относительно одной переменной, которое, скорее всего, уже умеем решать.

Рассмотрим его использование на примере.

Задание 1.Решить систему уравнений:

Решение

Преобразуем второе уравнение системы – перенесем в правую часть уравнения, тогда:

Теперь можем в первом уравнении вместо подставить выражение :

Решим полученное квадратное уравнение:

Соответственно

Ответ: .

В ответ записываем значения переменных в алфавитном порядке: сначала , потом . Аналогичным образом можно решить множество различных систем уравнений.

Алгоритм решения систем методом подстановки

Сформулируем алгоритм решения систем методом подстановки:

В одном из уравнений выразить одну переменную через другую.
Подставить полученное выражение во второе уравнение системы.
Решить полученное уравнение с одной неизвестной.
Найти значение второй переменной.

Итак, у нас есть основная идея решения. Разберем некоторые технические моменты, которые могут возникнуть на различных этапах использования этого алгоритма.

1. При выражении одной переменной через другую может возникнуть деление на выражение, содержащее переменную. Например, в системе:

Выразим из первого уравнения. Переносим все слагаемые с в одну сторону, все остальные – в другую:

Выносим за скобки :

Чтобы выразить , нужно разделить обе части равенства на . Но это выражение может равняться нулю, тогда делить нельзя! Поэтому отдельно необходимо рассмотреть случай, когда и проверить, является ли он решением системы:

Получили неверное равенство. Значит, не является решением данного уравнения и системы в целом.

Во всех остальных случаях, когда , мы можем делить на . Получим:

Последующие шаги 2–4 можете выполнить самостоятельно. Затем можете проверить себя (см. ниже).

Решение системы уравнений

2. Подставим полученное выражение для во второе уравнение:

3. Решим полученное дробно-рациональное уравнение. Запишем ОДЗ:

Умножим обе части уравнения на :

Решим квадратное уравнение:

Корень не входит в ОДЗ, значит, уравнение имеет одно решение:

4. Находим значение :

Ответ: .

Как видите, в данном случае шаг 1 получился более громоздким, чем в предыдущих системах. Поэтому, чтобы облегчить себе жизнь, лучше выбирать уравнение и переменную таким образом, чтобы получалось как можно более простое выражение. Если одно из уравнений системы линейное, то выражать переменную чаще всего лучше именно из него.

Количество решений системы

Еще одна особенность может возникнуть после выполнения шага 3. Полученное уравнение не обязательно имеет ровно одно решение. Оно может вообще не иметь решений, может иметь 2 и более решений, а также бесконечно много решений.

Если уравнение не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Если уравнение имеет более одного решения, для каждого из них необходимо найти значение второй переменной.

Например:

Второе уравнение имеет два решения:

Соответственно:

Ответ: или .

3. После подстановки полученное уравнение может превратиться в тождество (равенство, верное при всех допустимых значениях переменных). В таком случае уравнение имеет бесконечное количество решений. Тогда система также имеет бесконечное количество решений, а переменные связаны в нем соотношением, полученным на шаге 1.

Например:

Выполнив подстановку, получим уравнение:

Попытавшись решить данное уравнение, получим . Значит, может быть любым действительным числом. А система имеет бесконечное множество решений, которые связаны соотношением .

Ответ: , где – любое число.

Графическое решение системы

Уравнение системы с двумя переменными задает множество точек в декартовой системе координат. Действительно, любая зависимость одной переменной от другой может быть изображена в виде ГМТ. Чаще всего даже в виде функции (если каждому допустимому значению одной переменной будет соответствовать только одно значение другой).

Соответственно, поскольку решение системы обращает каждое из уравнений в верное равенство, точка с соответствующими координатами должна принадлежать обеим линиям, которые задаются уравнениями системами.

На этом, как мы знаем из курса алгебры 7-го класса, основан графический метод решения систем уравнений. Изобразить в одной системе координат две линии, заданные уравнениями системы, и найти их точки пересечения. Их координаты будут решениями системы.

Минус метода понятен: он не является точным. В любом случае координаты точек мы получим приблизительные и нужно будет проверять, удовлетворяют ли они обоим уравнениям в точности. Но, с другой стороны, такой способ позволяет понять хотя бы количество решений системы и их приблизительные значения.

Рассмотрим в качестве примера систему из первого задания:

Пример. Решить систему уравнений:

Решение

Второе уравнение задает прямую (см. рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Построим график первого уравнения, для этого выразим :

Случай нужно рассмотреть отдельно, получим решение системы:

Верно.

Тогда решением системы будет:

Итак, кроме решением системы будет точка пересечения прямых и . Это точка , но она выколота у второго уравнения (см. рис. 6). Так что других решений системы не будет. Получаем тот же ответ: .

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Ответ: .

Система уравнений с тремя неизвестными

Системы уравнений не обязательно состоят из двух уравнений с двумя неизвестными. Количество уравнений и неизвестных может быть и больше. При этом если мы сможем выразить одну из переменных через другие, то и в этом случае сработает метод подстановки. Таким образом, мы уменьшим количество уравнений и сведем задачу к более простой.

Задание 2. Решить систему уравнений:

Решение

Выразим из первого уравнения переменную :

Выполним подстановку в оставшиеся два уравнения. Во втором уравнении нет переменной , там подставлять некуда. В третьем уравнении получим:

Итак, решение свелось к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы уже умеем решать:

Снова применим метод подстановки. Из первого уравнения:

Подставляем во второе:

Не забываем, что исходная система содержала 3 неизвестных, значения всех трех нужно найти:

Ответ: .

Метод домножения и сложения

Кроме метода подстановки, для решения линейных систем мы использовали метод домножения и сложения.

Суть его заключается в том, что мы преобразовываем уравнения системы таким образом, чтобы у них возникли слагаемые, которые сократятся после сложения левых и правых частей уравнений.

В нелинейных системах такой метод может помочь нам получить уравнение, из которого легко выразить одну переменную через другую.

Задание 3. Решить систему уравнений:

Решение

Обратим внимание на подобные слагаемые в уравнениях. Чтобы при сложении они сократились, их знаки должны быть противоположны. Умножим первое уравнение системы на :

Сложим отдельно правые и левые части уравнений:

Из полученного уравнения проще выразить переменную, чем из исходных уравнений:

Это выражение можем подставить в любое из исходных уравнений системы. Например, в первое:

Решая его, находим корни:

Не забываем найти значения :

Ответ: или .

Конечно, эту систему можно было решить и «в лоб» – методом подстановки. Например, выразить из первого уравнения: , рассмотреть случай , убедиться, что он не будет решением системы, и разделить обе части на :

Далее подставить полученное выражение во второе уравнение и решить полученное дробно-рациональное уравнение. Можете сами выполнить дальнейшие действия и убедиться, что ответ получится такой же. Но вычисления будут более громоздкими. Зато метод подстановки универсальный. Какой выбрать – личное дело каждого – кому как удобнее и легче.

Однородные системы уравнений

Метод подстановки достаточно универсальный, но в некоторых системах уравнений сложно выразить одну переменную через другую. Рассмотрим несколько типов таких систем.

Однородные системы уравнений – это системы таких уравнений, в которых все слагаемые, содержащие переменные, имеют одинаковую степень (чаще – вторую).

Задание 4. Решить систему уравнений:

Решение

Степень выражения равна 2, т. к. подразумевается сумма показателей степеней всех переменных, входящих в выражение. Рассмотрим алгоритм решения таких систем.

1. Получить однородное уравнение, в левой части которого будут все переменные, а в правой – ноль.

Для этого домножим второе уравнение на и сложим с первым:

2. Разделить обе части полученного уравнения на . Легко проверить, что не является решением исходной системы, поэтому можем производить деление на :

3. Сделать замену и решить полученное квадратное уравнение:

4. Вернуться к замене и выразить одну переменную через другую:

5. Теперь применить метод подстановки и решить систему. Потренируйтесь сделать это самостоятельно. Затем можете свериться с решением, описанным ниже.

Решение системы

Подставим в первое уравнение исходной системы:

Откуда:

Тогда:

Не забываем, что есть еще один вариант подстановки:

Подставляя в первое уравнение, получим:

Это все решения одной и той же системы, поэтому продолжаем нумеровать корни:

Тогда:

Получили всего пары решений.

Ответ: .

Метод замены переменных

Еще один метод решения систем, который мы уже неоднократно использовали, – метод замены переменных. Если в системе можно найти одинаковые блоки неизвестных величин, то их можно заменить, введя новую переменную. Рассмотрим пример.

Задание 5. Решить систему уравнений:

Решение

Видим два «блока»: и , которые есть и в первом, и во втором уравнении. Вместо этих выражений можно сделать замену:

Получим систему:

В полученной системе уже проще выразить одну переменную через другую, но это по-прежнему непросто. Можно сделать и другую замену в исходной системе:

Тогда система примет вид:

Очевидно, что в этой системе еще проще выразить одну переменную через другую. Из первого уравнения:

Возвращаемся к замене:

Получили систему:

Эту линейную систему удобно решить методом сложения:

Ответ: .

Заключение

Мы познакомились с решением более сложных систем уравнений. Большинство из них решаются методом подстановки и сводятся к решению различных уравнений с одной неизвестной. Иногда, чтобы воспользоваться методом подстановки, необходимо выполнить различные преобразования уравнений системы или использовать другие методы – домножения и сложения, замены переменных.

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал edufuture.biz

2. Интернет-портал yaklass.ru

3. Интернет-портал kontromat.ru

Домашнее задание

1. Решить систему уравнений: