Прежде чем перейти к технике, вспомним, что такое система уравнений, и разберемся, какие задачи могут нас привести к сложным системам уравнений.

Если сыщик знает про одного преступника, что тот высокий, а про второго, что тот блондин, то эти два условия не объединены в систему, они относятся к разным неизвестным, к разным преступникам.

Если это информация про одного и того же преступника, то это система. Оба условия выполняются одновременно. Одну информацию можно использовать для уточнения другой. Преступник – высокий блондин.

Рассмотрим еще один пример. Пусть нам известно, что дом находится на ул. Гоголя. Вариантов, где точно расположен дом, много – целая улица. Дом находится на проспекте Мира. То же самое – вариантов много. Но если эта информация относится к одному и тому же дому, то сразу понятно, что дом находится на перекрестке (см. рис. 2). Два условия объединены в систему.

Рис. 2. Решение системы – дом находится на перекрестке

Итак, система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно.

В каких же задачах могут возникнуть сложные системы? На уроках физики вы будете говорить о движении тела, брошенного под углом к горизонту (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче о движении тела, брошенного под углом к горизонту

Его движение можно разложить на две составляющие: если не учитывать сопротивление воздуха, то горизонтально тело движется равномерно (на него не действуют силы), а вертикально тело движется равноускоренно (на него действует сила тяжести, т. е. у тела ускорение свободного падения , направленное вниз).

Тогда траекторию тела можно описать следующей системой уравнений:

С уравнением, описывающим равномерное движение, вы уже знакомы, с уравнением, которое описывает равноускоренное движение, познакомитесь позже. Но для нас важен факт: даже решение такой относительно несложной задачи приводит нас к системе уравнений, в которой фигурирует квадрат переменной (в данном случае – времени ).

Рассмотрим другой пример. Представьте, что у производителя товара есть 2 склада с товаром, который нужно развезти по 2 торговым точкам (см. рис. 4). Как это сделать наиболее эффективно (с наименьшими затратами)? Это пример классической задачи логистики – транспортной задачи.

Рис. 4. Иллюстрация к транспортной задаче

Перед вами таблица с информацией о складах и магазинах:

	Склад 1 (100 единиц товара)	Склад 2 (150 единиц товара)
Магазин 1 (нужно 200 единиц товара)	20 рублей/1 товар	15 рублей/1 товар
Магазин 2 (нужно 50 единиц товара)	17 рублей/1 товар	19 рублей/1 товар

Понятно, что у нас есть 4 неизвестных величины, которые нужно найти: сколько товаров везти со склада 1 в магазин 1 и сколько в магазин 2; сколько товаров везти со склада 2 в магазин 1 и сколько в магазин 2.

Моделью даже такой несложной задачи является система из 4 уравнений с 4 неизвестными:

Понятно, что в реальной жизни крупным перевозчикам, торговым и логистическим компаниям приходится решать гораздо более сложные задачи с более сложными моделями.

Решение транспортной задачи

Если обозначить неизвестные величины:

(-й склад – -й магазин),

(-й склад – -й магазин),

(-й склад – -й магазин),

(-й склад – -й магазин),

то получим систему из 4 уравнений с 4 неизвестными:

Первые два уравнения – это описание того, что 1-й магазин получит товаров, а 2-й – . А 3-е и 4-е – описание того, что с 1-го склада уедет товаров, а со 2-го – :

Это условие того, что общая стоимость всех перевозок будет минимальной.

Может показаться, что решением системы из 4 уравнений с 4 неизвестными будет конкретный набор чисел и стоимость перевозки в любом случае будет фиксированная.

На самом деле, это не так. Из выписанной системы можно безболезненно «выкинуть», например, 4-е уравнение – это не повлияет на множество ее решений. Почему так?

Первые два уравнения при сложении говорят, что сумма всех четырех неизвестных равна . Третье уравнение, что сумма и равна . Из этих двух условий автоматически следует, что сумма оставшихся .

Итак, система условий имеет вид:

Используем метод подстановки, чтобы выразить все переменные через одну – подставим выражение из первого уравнения в четвертое:

Полученное выражение для подставим во второе уравнение и получим:

Подставим полученные выражения в формулу стоимости перевозок:

Чтобы эта сумма была минимальной, должен быть максимальным. Поскольку со второго склада нельзя вывезти больше товаров, то , тогда:

Конечно, каждый раз решать транспортную задачу таким образом очень громоздко. Тем более что реальные задачи гораздо сложнее. Поэтому для их решения разработаны более эффективные и надежные методы.