Интервалы монотонности функций и сопутствующие задачи

Тема: Неравенства

Урок: Интервалы монотонности функций и сопутствующие задачи

1. Исследование квадратичной функции на монотонность

Мы определили понятия монотонного возрастания и монотонного убывания функций, исследовали на монотонность линейную функцию. Была также сформулирована некоторая методика исследования монотонности функций. Мы выяснили, что линейные функции только возрастают (при положительном коэффициенте ) или только убывают (при отрицательном коэффициенте ). Перейдем к исследованию других функций.

Пример№1.

Построим и рассмотрим график функции (рис. 1):

Рис. 1. График функции

Это парабола с направленными вверх ветвями, причем, очевидно, что если то характер поведения функции один, а если  то характер поведения функции меняется.

Если , нам надо доказать, что функция убывает. А если  то функция возрастает.

Пусть . Доказать, что функция убывающая.

Доказательство: Пусть . Причем: , тогда . Доказать, что . Нужно в функцию подставить соответствующие значения:

Разность ; По условию ; сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное . Имеем произведение положительного числа и отрицательного, значит

т. е., что и требовалось доказать.

II. Пусть . Доказать, что функция возрастающая.

Пусть , Доказать, что .

Доказательство: , потому что сумма и разность этих чисел – положительные числа. Значит,  Что и требовалось доказать.

Пример№2 (для самостоятельного рассмотрения)

Определить интервалы монотонности функций: ,

Наглядно данный пример решается по графику (рис. 2, 3):

Рис. 2. График функции

Рис. 3. График функции

Несложно заметить, что характер монотонности обеих функций одинаков, при  обе функции возрастают, а при  – убывают.

Так, коэффициент, стоящий перед  определяет поведение функции «до нуля» и «после нуля».

2. Исследование на монотонность функции, состоящей из нескольких кусков

Пример №3

Определить интервалы монотонности функции и .

График функции  гипербола (рис. 4):

Рис. 4. График функции

В точке  она не существует. Говорить о монотонности на всей оси нельзя.

1. Если , то монотонно убывает. Чем больше аргумент, тем меньше функция.

2. Если , то , тоже монотонно убывает. Чем больше аргумент, тем меньше функция.

Характер убывания одинаковый.

Функция определена только, когда График функции  представляет собой часть параболы (рис. 5):

Рис. 5. График функции

Если , то  

Функция  – возрастающая.

Пример №4.

Построить график функции и прочесть его:

Рис. 6

Построим график (Рис. 6):

Каждую функцию в отдельности мы можем построить. Каждый закон соответствия имеет место только на определенном участке.

1. Функция  имеет место только до нуля, т. е. это часть параболы. Эта квадратичная функция на данном участке убывает.

2.  график функции  представляет собой обратную параболу и уходит вверх.

3. Если , то график функции , представляет собой гиперболу, проходящую через точку (4;2). Характер монотонности здесь тоже известен. Функция убывающая.

Читаем график:

1. При  убывает от минус бесконечности до нуля;

2. При функция возрастает от нуля до двух;

3. При  функция убывает от двух до нуля

Задача №1

Дана функция:  

Найти все значения параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение. Обращаемся к графику (рис. 6) и видим, что

1. При , хотя бы одно решение есть.

2. При  решений нет.

3. При  одно решение.

4. При  уравнение имеет три решения.

5. При  уравнение имеет два решения.

6. При  уравнение имеет одно решение.

Вывод: Мы перебрали все значения параметра а и для каждого указали ответ.

Вопрос может быть поставлен по-другому. Например: найдите все значения параметра а, при котором уравнение имеет единственное решение.

Ответ: единственное решение уравнение имеет при  и при  уравнение имеет единственное решение.

Подведение итогов урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Интервалы монотонности функций и сопутствующие задачи». Вы рассмотрели процесс исследования на монотонность различных функций и в том числе функций, которые составлены из разных кусков. На одних участках функция монотонно возрастает, на других – функция монотонно убывает. Построение графика функции иллюстрирует монотонность и позволяет решать многочисленные задачи.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
4. InternetUrok.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Исследуйте функцию на монотонность.
2. Построить график функции и указать, на каких участках она монотонно убывает?
3. №572, 574. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.