Исследование функций на монотонность

Тема: Неравенства

Урок: Исследование функций на монотонность

1. Что такое функция

Понятие функции

Функцией называют закон соответствия , по которому каждому значению  ставится в соответствие единственное значение y.

х –это независимая переменная, или аргумент.

у – это зависимая переменная, или функция.

f – это закон.

Например: . Если взять , то . Требование к этому закону: однозначность от . Заданному значению х соответствует только одно значение у.

 

Рис. 1. График окружности

Рассмотрим графики окружности (рис. 1) и полуокружностей. Являются ли нарисованные графики графиком какой-нибудь функции?

Ответ: график окружности не является, потому что заданному значению аргумента соответствует несколько значений функции.

В графиках полуокружностей заданному значению х соответствует единственное значение у. Этот график является графиком какой-нибудь функции.

2. Монотонно возрастающая функция

Рис. 3. Монотонно возрастающая функция

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Рис. 3.

Если , то и ).

3. Монотонно убывающая функция

Рис. 2. Монотонно убывающая функция

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Рис. 2.

Если , то и ). Чем больше аргумент, тем меньше функция.

Если функция возрастает или убывает, то говорят, что она на данном участке монотонна.

4. Изучение монотонности линейной функции

Пример №1.

Дано: .

Решение: линейную функцию задают два параметра: k и m. Рассмотрим конкретные примеры:  и .

m – это ордината точки пересечения оси оу.

х	0	-
у	1	0

Рис. 4.

Построив график этой функции, делаем вывод, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции (Рис. 4). Данная функция возрастает от до

Доказательство:

Дано: х₂>х_1, где х₂ и х₁ – любые числа.

Доказать: ;

Решение: ; ;  означает, что их разность больше нуля. Найдем эту разность: = = 2(. По условию: х₂>х_1, Отсюда следует, что. Что и требовалось доказать.

Вывод: На всех областях определения линейная функция возрастает.

Аналогично можно доказать, что  на всех областях монотонно убывает.

В общем случае для действует такое правило, что если , то функция является монотонно возрастающей, если , то функция является монотонно убывающей.

 

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Исследование функции на монотонность». Вы узнали, что такое функция. Было введено понятие о возрастающей и убывающей функции. На примере линейной функции вы научились определять, возрастает функция либо убывает.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
4. InternetUrok.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Определите, какой является функция:  при 
2. Что такое функция?
3. №534, 535. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.