Квадратные уравнения с параметром

Тема: Неравенства

Урок: Квадратные уравнения с параметром

1. Аналитический способ решения задачи с параметром

Решить задачу с параметром – значит перебрать все значения параметра и для каждого указать ответ. Для квадратных уравнений наличие корней зависит от дискриминанта

Пример №1 – решить уравнение с параметром

Решить уравнение:

I-ый способ.

Считаем, что  – величина постоянная, и находим корни уравнения:

. Корни существуют, если . Решаем это линейное неравенство:  При этих значениях параметра, то есть когда дискриминант положителен или равен нулю, корни есть. Причем, когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет единственный корень. Когда дискриминант отрицателен – корней нет.

Ответ: 1. при любом  решений нет; 2. при  уравнение имеет единственное решение: ; 3. при любом значении  уравнение имеет два различных корня:

Частные случаи:

Найти значения параметра а, при котором уравнение имеет одно решение.

Ответ: при  корни есть, уравнение имеет единственное решение: .

Найти значения параметра а, при котором уравнение не имеет решения.

Ответ: при любом  решений нет.

2. Графический способ решения задачи с параметром

Решим пример №1 графически (II способ):

 или

Алгоритм:

Рис. 1. График квадратной функции

1. Построим график функции, стоящей в левой части  (Рис. 1).

2. Корнями этой функции является

3. График этой функции – парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится по формуле: ; . Подставляем  . Вершина параболы ().

1. Рассечь построенный график семейством прямых:  (Рис. 2).

Рис. 2. Рассечение графика функции семейством прямых

2. Отметить точки пересечения и выписать ответ. По графику очевиден ответ:

а) при любом  решений нет

б) при  корни есть, уравнение имеет единственное решение:

в) при любом значении  уравнение имеет два различных корня:.

Графический метод позволяет решать некоторые частные задачи, например: при каких значениях параметра уравнение имеет два положительных корня. Из графика очевиден ответ: при  уравнение имеет два различных положительных корня.

или: при каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня разного знака. Из графика очевидно: при  уравнение имеет два корня разного знака.

Аналогичные частные задачи можно решать и аналитически, для этого следует воспользоваться теоремой Виета.

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Квадратные уравнения с параметром». Вы рассмотрели общую постановку решения задач с параметром и решили конкретную задачу с параметром двумя способами.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
4. InternetUrok.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение 
2. Что значит: решить задачу с параметром?
3. №560, 559. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.