Доказательство

Для доказательства воспользуемся методом «от противного».

Предположим, пусть – рациональное число, т. е. найдется такая несократимая дробь , что она в точности равна . Но если бы она была сократимая, то мы бы могли её сократить.

Теперь предположим, что она существует и она не сократима , что , вот подобрали такую дробь.

По методу «от противного» нам необходимо получить противоречие, и если мы получим это противоречие, значит, исходная предпосылка была неверна, и не является рациональным числом. А значит, назвали иррациональным, и все остальные числа, которые не являются рациональными, назвали иррациональными.

Итак, нам предстоит получить противоречие из нашего предположения, что – рациональное число, т. е. дробь существует. Если это правда, то . Слева и справа числа не отрицательные, поэтому их можно возвести в квадрат Левая часть делится на 2 , а значит и правая часть уравнения делится на 2. , а если , значит и один из сомножителей делится на 2. Получается, что и . У нас есть , где , получается, что . Если , то тогда и , а значит , т. е. . Если и , то получается, что – сократимая дробь, а это противоречит поставленному условию, значит, – не рациональное число, а иррациональное.

Таким образом мы выяснили, что помимо рациональных чисел существуют также иррациональные числа, т. е. такие, которые не являются рациональными и не могут быть записаны в виде дроби , где , а , причём .

Важно помнить, что если к рациональному числу мы прибавим иррациональное, то полученное число будет также иррациональным, например, число – это иррациональное число.

Если , то , если r – рациональное число, то их разность также будет рациональным числом, однако мы видим, что это не так, поскольку – число иррациональное.