Функция y=√x

Решение элементарных задач

Для начала вспомним, откуда взялся знак корня и зачем он был придуман.  Для этого мы решим несколько простейших уравнений.

Задача №1

Решим данное уравнение двумя способами .

Способ I. Аналитический

В данном решении у нас не возникла необходимость во введении каких-либо новых слов или символов.

Способ II. Графический

Для решения графическим способом мы строим графики функций

Исходя из графика мы видим, что графики функций пересекаются в точках с аргументами 2 и -2.

Задача №2

Способ I. Аналитический

В данном решении у нас не возникла необходимость во введении каких-либо новых слов или символов.

Способ II. Графический

И в данном примере у нас не возникла необходимость во введении каких-либо новых слов или символов.

Задача №3

Способ I. Аналитический

Схема решения остаётся той же, переносим всё из правой части в левую:

Однако понятно, что мы пока не знаем, что же это за число, которое при возведении в квадрат даёт 5.

Поэтому решим пример вторым способом – графическим

Способ II. Графический

Благодаря графику мы видим, что корни всё же существуют, осталось только понять, как же их назвать. Именно для таких чисел и возникло понятие корня, который начали обозначать таким значком: , в нашем случае это будет:  и .

Получается, что  – это число, которое существует, и такое, что его квадрат равен подкоренному выражению, т. е. .

Объяснение понятия арифметического квадратного корня и его графика

Теперь вернёмся к нашему аналитическому решению примера и поставим там вместо пропуска .

Если мы всё сделали правильно, то и аналитический, и графический способы решения дадут нам один и тот же ответ.

Теперь давайте введём новый термин: квадратным корнем из 5 () называется такое число, квадрат которого равен 5.

В нашем примере мы получили два корня – один положительный, другой отрицательный. Положительный корень называется арифметическим корнем, а отрицательный – корнем, противоположным арифметическому.

Теперь дадим чёткое определение: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое число, квадрат которого равен .

Если

Теперь давайте построим график функции . Мы с вами понимаем, что для этого должны выполняться условия: .

Построение графика

ОДЗ:

Мы видим, что это похоже на часть параболы , только расположенной вдоль оси .

Итак, мы построили график, теперь свойства этой функции:

1. ОДЗ:

2. , т. е. функция меняется в пределах

Рассмотрим пару примеров на понимание ОДЗ (1) и области определения функции (2).

А)  не существует, т. к. ОДЗ должно быть , а это не так.

Б)  – нет решений, поскольку должно быть: 

3.   (монотонно возрастает) при всех допустимых , это означает, что если , то  для любых  и .

Посмотрим на график: пусть , а , видим, что . Посмотрим теперь на значение функции в этих точках: , , т. е. мы видим, что , т. е. .

4.  непрерывна, для нас это значит, что график функции можно провести, не отрывая руку от листа бумаги, т. е. никаких разрывов в данной функции нет.

5. Функция выпукла вверх

Решение типовых задач

Теперь рассмотрим типовые задачи – преобразовния графика этой функции.

Строить график будем в таком порядке:

 Для начала, определим ОДЗ:  

Чтобы не ошибиться, в какую сторону двигать график в действии (2), нужно посмотреть в итоговую функцию и ОДЗ, которое нам говорит, что , т. е. график нужно двигать вправо.

Теперь давайте изучим нашу функцию

1. ОДЗ:

2. Область определения функции:

Т. е.  , а наибольшего  не существует

Таким образом, мы рассмотрели график функции , выяснили, что эта функция определена только для неотрицательных .

Выводы

Итак, на данном уроке мы с вами вспомнили, что такое арифметический корень и его свойства, а также построили график этой функции и рассмотрели его свойства. Также мы увидели, что график данной функции подчиняется тем же правилам переносов и действий с графиком, что и графики других функций. 

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Вся элементарная математика (Источник). 
2. Портал для всей семьи (Источник). 
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Постройте графики функций: а)  б)  в)
2. Постройте график функции и исследуйте её
3. Какие функции изображены на графиках?

А)

Б) 

В)