Квадратичная функция

Теория по преобразованиям графиков на примерах «классических» функций

Вспомним определение: квадратичной называется функция вида

y = , где .

Здесь  – независимая переменная, или аргумент;  – зависимая переменная, или функция;  – конкретные числа, параметры, коэффициенты. Тройка этих конкретных чисел задает конкретную квадратичную функцию. Частным случаем такой функции является функция .

Напомним важнейший результат: график функции (1) и график функции (2) есть одна и та же парабола, но расположенная в разных местах координатной плоскости.

Чтобы получить этот результат и понять, каким образом преобразовываются графики функций, вспомнить правила преобразования графиков функций, рассмотрим несколько примеров, а именно:

(1) , где

(2) , где

(3) , где

Вспомним, каким образом влияет на график функции этот коэффициент. Для этого расположим все три графика в одной координатной плоскости.

Сразу рассмотрим первую функцию . Она проходит через точку с координатами . Это известная нам парабола, свойства ее тоже нам известны. Как поведет себя функция ? Там, где аргумент был равен , функция тоже будет равна , то есть точка  лежит на графике этой функции. При  первая функция была равна , а вторая функция будет равна . А третья функция будет равна . Схематически проведем вторую функцию  – она пойдет более круто. Это означает, что если функция   возрастала, то функция  возрастает еще круче. если функция     убывала, то  в еще большей степени убывает. А коэффициент  влияет на график функции следующим образом: функция идет более полого.

Если сформулировать правило, то оно будет звучать следующим образом: при коэффициенте , на который функция умножается, график функции сжимается вдоль оси  к оси , а при коэффициенте  график функции растягивается. Влияние коэффициента прослеживается описанным выше образом при .

Теперь рассмотрим график функции y₄ = , где . Чтобы получить график этой функции из графика функции y₁, необходимо взять симметрию относительно оси х. Далее нарисуем график функции y₅ = . Она будет симметрична графику функции y₂. Итак, при разных значениях коэффициента а парабола растягивается или сжимается, становится более крутой или менее крутой. 

Далее рассмотрим следующие функции

(1)

(2)

(3)

Рассмотрим, каким образом ведет себя график каждой функции. Если от аргумента отнимается единица, мы сдвигаем график вправо по оси х. Чтобы получить график функции (3), необходимо исходную параболу сдвинуть на единицу влево.

Рассмотрим еще одно правило. Для этого построим графики следующих функций:

(1) y₁ =

(2) y₂ =

(3) y₃ =

Если к функции прибавлять единицу, то происходит сдвиг функции на единицу вверх. Если же от функции отнять единицу, то происходит сдвиг функции на единицу вниз.

 

Итак, мы рассмотрели основные преобразования графиков функции, а для квадратичной функции могут одновременно работать все три правила.

Построение графика квадратичной функции на конкретном примере

Рассмотрим конкретную функцию

 .

Мы утверждали, что шаблоном графика такой функции является график функции y= . Чтобы построить график этой функции, необходимо выделить полный квадрат:

.

Теперь мы видим, что исходную параболу необходимо сдвинуть на единицу вправо и вниз на .

Далее найдем корни этой функции, разложим на множители.

Мы видим, что таким образом исходный трехчлен разлагается на множители. Если мы захотим решить уравнение, то есть найти корни этой функции, то теперь это легко сделать:

, .

Теперь мы сделали все аналитические действия, которые можно сделать с этой функцией.

Посмотрим, как ведет себя эта функция на плоскости . Сначала рассмотрим функцию  – она послужит шаблоном. Второй нужно нарисовать функцию , сдвинув график первой функции на единицу вправо. Наконец, третьей необходимо построить график функции  , то есть сдвинуть график второй функции на четыре единицы вниз. Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке . Вспомним, что мы нашли корни, то есть функция пройдет через точки  и . Можно найти не только точки пересечения с осью , но и с осью y:

.

Мы построили график функции, рассмотрели преобразования и убедились, что график квадратичной функции – это парабола, расположенная в ином месте координатной плоскости. График функции наглядно демонстрирует ее свойства. Перечислим важнейшие из них:

1. Область допустимых значений независимой переменной . Здесь  – любое действительное число от  до .

2. Множество всех значений . Здесь y принимает не все значения, самое маленькое – это .

 

3. Мы выяснили, что  . Таким образом,

.

4. – не существует.

5. График функции имеет ось симметрии .

6. Функция имеет корни, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в .

 при  или .

7.  при .

8.  при  или .

9. При   убывает от  до .

10. При   возрастает от  до .

11. Функция непрерывна

12. Точка пересечения графика с осью  – (0; -3).

Выводы

Итак, мы рассмотрели квадратичную функцию сначала в общем виде и выяснили, что шаблоном графика этой функции является парабола . Мы повторили все правила преобразования графика такой функции и рассмотрели конкретный пример, на котором перечислили все свойства данной функции.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Кафедра информационных образовательных технологий (Источник).

ФизМат (Источник).

ЕГЭ по математике (Источник).

 

Домашнее задание

Постройте графики функций: а)  б)  в)

Найдите точки пересечения графиков функций с осью :

а)  б)

Постройте график функции , если известно, что корни  и  связаны отношением