Вспомним определение: квадратичной называется функция вида

y = , где .

Здесь – независимая переменная, или аргумент; – зависимая переменная, или функция; – конкретные числа, параметры, коэффициенты. Тройка этих конкретных чисел задает конкретную квадратичную функцию. Частным случаем такой функции является функция .

Напомним важнейший результат: график функции (1) и график функции (2) есть одна и та же парабола, но расположенная в разных местах координатной плоскости.

Чтобы получить этот результат и понять, каким образом преобразовываются графики функций, вспомнить правила преобразования графиков функций, рассмотрим несколько примеров, а именно:

(1) , где

(2) , где

(3) , где

Вспомним, каким образом влияет на график функции этот коэффициент. Для этого расположим все три графика в одной координатной плоскости.

Сразу рассмотрим первую функцию . Она проходит через точку с координатами . Это известная нам парабола, свойства ее тоже нам известны. Как поведет себя функция ? Там, где аргумент был равен , функция тоже будет равна , то есть точка лежит на графике этой функции. При первая функция была равна , а вторая функция будет равна . А третья функция будет равна . Схематически проведем вторую функцию – она пойдет более круто. Это означает, что если функция возрастала, то функция возрастает еще круче. если функция убывала, то в еще большей степени убывает. А коэффициент влияет на график функции следующим образом: функция идет более полого.

Если сформулировать правило, то оно будет звучать следующим образом: при коэффициенте , на который функция умножается, график функции сжимается вдоль оси к оси , а при коэффициенте график функции растягивается. Влияние коэффициента прослеживается описанным выше образом при .

Теперь рассмотрим график функции y₄= , где . Чтобы получить график этой функции из графика функции y₁, необходимо взять симметрию относительно оси х. Далее нарисуем график функции y₅= . Она будет симметрична графику функции y₂. Итак, при разных значениях коэффициента а парабола растягивается или сжимается, становится более крутой или менее крутой.

Далее рассмотрим следующие функции

(1)

(2)

(3)

Рассмотрим, каким образом ведет себя график каждой функции. Если от аргумента отнимается единица, мы сдвигаем график вправо по оси х. Чтобы получить график функции (3), необходимо исходную параболу сдвинуть на единицу влево.

Рассмотрим еще одно правило. Для этого построим графики следующих функций:

(1) y₁=

(2) y₂=

(3) y₃=

Если к функции прибавлять единицу, то происходит сдвиг функции на единицу вверх. Если же от функции отнять единицу, то происходит сдвиг функции на единицу вниз.

Итак, мы рассмотрели основные преобразования графиков функции, а для квадратичной функции могут одновременно работать все три правила.