Квадратные уравнения

Квадратное уравнение

Определение

Квадратным называется уравнение вида:

 – неизвестная переменная;  – коэффициенты

Это не приведенное квадратное уравнение. Если бы , то мы бы имели линейное уравнение. Именно поэтому необходимым условием для квадратных уравнений является .

Приведенным квадратное уравнение будет, если мы почленно разделим на «а» все уравнение. Получим:

 +  +  =

Или , где .

Исходное и приведенное уравнение – одно и то же в том смысле, что набор его корней остается одинаковым.

Итак, на этапе повторения необходимо иметь ключи для решения задач. Ключи – это опорные свойства и теоремы. На них и будет обращено наше внимание.

Формулы корней квадратного уравнения

Прежде всего, это формулы, по которым находятся корни квадратного уравнения. Давайте вспомним их:

                       

Дискриминант:

1.

2.

3. – корней нет

Примеры

Пример 1. Решить уравнение

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Ответ: корней нет.

Итак, мы повторили первый важнейший ключ – формулу корней квадратного уравнения.

Упрощенная формула корней квадратного уравнения

Формула для корней квадратного уравнения иногда может быть более простая, когда второй коэффициент () легко делится на 2.

         

Смысл этой формулы заключается в том, что цифры, с которыми приходится иметь дело, в 4 раза меньше.

Пример 4.

Ответ:

Теорема Виета

Если  – корни квадратного уравнения (1), то:

Обратная теорема Виета

Если  – такие числа, которые удовлетворяют таким соотношениям, то они являются корнями квадратного уравнения (1).

Применение теоремы Виета многогранно. Например, мы решали пример:

Пример.

Ответ: 1; 5

С помощью обратной теоремы Виета мы можем проверить правильность нашего решения для данного уравнения:

Примеры для Теоремы Виета

Пример 5. Решить уравнение .

Решение:

Первый корень данного уравнения просто угадывается. Это . По теореме Виета произведение корней :

Ответ: 1;

Вывод

Итак, мы вспомнили, что такое квадратное уравнение. Также вспомнили основные опорные факты и теоремы, связанные с решением квадратных уравнений, которые используются в многочисленных задачах.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. № 76, 77, 79 стр. 221. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ru.wikipedia.org  (Источник).
2. Интернет-портал Kvadur.info  (Источник).
3. Интернет-портал Grandars.ru  (Источник).