Тема: Числовые функции
Урок: Аналитический способ
1. Вступление
На уроке изучаются способы задания функции и рассматривается задание функции аналитическим способом, то есть с помощью формул.
Определение. Функцией 
называется закон (правило), по которому каждому элементу (числу) 
из множества 
ставится в соответствие единственный элемент (число) 
.
В определении: 
– независимая переменная (аргумент), 
- зависимая переменная (функция), множество – область определения, то есть множество всех допустимых значений аргумента.
Из определения ясно: чтобы задать функцию
, надо задать закон или правило. Надо учесть единственное требование, которому должен удовлетворять этот закон 
: каждому 
должен соответствовать единственный элемент .
2. Конкретные примеры аналитического (формульного) задания функции
Линейная функция.
а. 
б. 
Рис. 1. График функции 
Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.
Решение.
а. Строится график функции 
(см. Рис. 1).
Ответ: 
б. Строится график функции 
(см. Рис. 2).
Ответ: 
Рис. 2. График функции 
Квадратичная функция.
а. 
б. 
Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.
Решение.
Рис. 3. График функции 
а. Строим график функции 
(см. Рис. 3).
Ответ: 
Чтение графика: если 
возрастает от 
до 
, то 
убывает от до 
; если возрастает от до 
, то возрастает от до .
б. Строим график функции 
(см. Рис. 4).
Рис. 4. График функции 
Ответ: область определения 
– проекция на ось . Область значений 
– проекция на ось .
Чтение графика: если 
возрастает от до , то убывает от до ; если возрастает от до 
, то возрастает от до 
.
3. Сопутствующая задача (на чтение графика)
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых уравнение 
, где 
:
1. Имеет хотя бы одно решение;
2. Имеет одно решение;
3. Имеет два решения.
Решение.
Решить задачу с параметром означает рассмотреть все значения параметра и при каждом из них указать ответ.
Решение задачи выполняется по алгоритму.
Рис. 5. График функций
и 
1. Построить график функции, стоящей в левой части исходного уравнения , то есть график квадратичной функции (см. Рис. 4).
2. Рассечь график семейством прямых 
(см. Рис. 5).
3. Найти точки пересечения и их количество.
4. Выписать ответ.
Ответ:
1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при 
(это следует из определения области значений, то есть каждое значение функции из области значений достигается хотя бы при одном значении аргумента);
2. Одно решение при 
;
3. Два решения при 
.
Примечание. Данные задачи важны, так как встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах.
4. Пример аналитического задания функции с помощью нескольких формул
Дана функция 
, где 
Требуется:
1. Построить график функции;
2. Найти ее области определения и значений.
Решение. График функции изображен на Рис.6.
Рис. 6. График функции
Ответ: область определения 
– проекция графика функции на ось ; область значений 
– проекция графика функции на ось .
5. Сопутствующая задача (на чтение графика)
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где 
:
1. Имеет хотя бы одно решение;
2. Имеет только одно решение;
3. Имеет два решения.
Чтение графика: если возрастает от 
до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то убывает от до .
Решение. Воспользуемся соответствующим алгоритмом (см. п.3).
1. Построить график функции (см. Рис. 6).
2. Рассечь график функции семейством прямых 
(см. Рис. 7).
3. Найти точки пересечения и их количество.
4. Выписать ответ.
Рис. 7. График функции 
и 
где 
Ответ:
1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при 
;
2. Уравнение имеет только одно решение при 
;
3. Уравнение имеет два решения при 
.
6. Итог урока
На этом уроке повторили определение функции, рассмотрели аналитические способы задания функций ( с помощью одной или нескольких формул ). Этот способ задания функций будет использоваться и далее.
Список рекомендованной литературы
1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А.Г. , Мишутина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. № 14,15, 17 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 8.132 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
