Тема: Числовые функции
Урок: Степенная функция 
её свойства и график
1. Введение
На этом уроке мы начнем рассматривать степенную функцию с отрицательным показателем.
2. График и свойства функции
Сначала мы познакомимся с функцией 
т.е. с функциями вида: 
Рассмотрим график функции 
Можно воспользоваться таблицей, а можно проанализировать уже известные нам графики (рис. 1,2).
Изучая графики функций 
можно себе представить, как будет выглядеть график функции 
(рис. 3).
Функция четная, поэтому мы можем изучить и изобразить график на луче 
и симметрично отобразить относительно оси y.
Если xвозрастает, то и 
возрастает, а 
убывает.
При 
функция не существует.
Прочтем график.
Если 
то у возрастает, 
Если
то у убывает,
1. 
2. Функция четная, 
График симметричен относительно оси y.
3. Функция убывает на луче 
и возрастает на луче 
4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
5. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Функция непрерывна на луче 
и на луче 
7. 
8. Функция выпукла вниз на луче и на луче
Функция имеет асимптоты, рассмотрим их.
Асимптота – это такая прямая, к которой данная кривая неограниченно приближается.
При 
Ось xявляется горизонтальной асимптотой, её уравнение 
.
При 
При 
Ось yявляется вертикальной асимптотой, ее уравнение .
Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции (рис. 4).
На луче функция положительна, на луче 
функция положительна, и только при 
функция не существует.
Рассмотрим типовые неравенства.
3. Примеры
Свойства функции – ключ к решению многих задач.
1. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Изобразим график функции 
, она определена при всех x кроме (рис. 5).
Это значит, что любое значение 
достигается хотя бы при одном значении аргумента.
Заметим, что если мы задаем 
то получаем два решения, 
.
2. Решить уравнение с параметром: 
Решение:
Необходимо построить график функции 
пересечь его семейством прямых 
, найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 5а).
Нет решений при 
Два различных решения при 
Мы подробно рассмотрели график и свойства функции 
Рассмотрим график и свойства подобных функций в общем виде.
4. График и свойства функции
Функция
Все эти функции проходят через фиксированные характерные точки (-1; 1) и (1; 1) (рис. 6).
Асимптоты: горизонтальная и вертикальная 
Свойства функции:
2. Функция четная.
3. Убывает на луче и возрастает на луче
4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.
5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Непрерывна на луче и на луче
8. Выпукла вниз на луче и на луче
Рассмотрим взаимное расположение кривых 
(рис. 7).
Обе кривые проходят через две фиксированные точки: 
5. Примеры
1. Найдите область значений функции:
Решение:
Если 
, то y убывает, 
Ответ:
Кривая сдвинута по оси xна три единицы вправо. Функция
монотонно возрастает при 
Ответ: 
6. Заключение
Мы рассмотрели функцию 
На следующем уроке мы познакомимся с функциями вида 
т.е. с функциями 
и т.д.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Открытая математика (Источник)
2. Задачи (Источник)
3. Решу ЕГЭ (Источник)
Рекомендованное домашнее задание
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№ 332(а, в), 333(a, г), 335.
