Классы
Предметы
Мой профиль

Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях

На этом уроке мы будем решать задачи на область определения и область значений в более сложных случаях. Также решим некоторые сопутствующие задачи, например, задачи с параметром.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

Вступление

Важными характеристиками конкретных функций являются область определения и область значений. На уроке будут  рассматриваться задачи на нахождение области определения, области значений функции, сопутствующие задачи на функции, включая задачи с параметрами.

Задача 1

Найдите область определения функции   .

Решение. Область определения задается неравенством

Рис. 1. Область определения функции 

Ответ:

 

Задача 2

Найдите область определения функции  .

Решение. Область определения задается системой

Рис. 2. Область определения функции  

Ответ:

Задача 3

Найдите область определения и область значения функции  Изобразите схематически ее графики.

Решение.

1. Область определения задается неравенством (см. Рис. 3)

 .

2. Под корнем имеем функцию , где (см. Рис. 4). Область значения этой функции  Поскольку  и  то .

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Рис. 3. График функции

Рис. 4. График функции  при .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5. Схематический график функции .

3. Схематический график функции  изображен на Рис.5.

.

.

 x 

 -4 

 0 

 4 

 y

  0

 4

 0

Примечание

На примере данной функции иллюстрируется связь между областью значения, областью определения и графиком.

1. Проекция графика функции  на ось  - область определения:  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Проекция графика функции на ось .

2. Область значений функции  – проекция графика на ось .

Сопутствующая задача с параметром

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

Решение. Строится график функции  .

Пересечение прямой  и графика функции существует тогда и только тогда, когда (см. Рис. 7).

Ответ:

 

 

 

 

 

 

Рис. 7. График функций 

Задача с кусочно заданной функцией

а. Найдите

б. Вычислите

в. Постройте график функции.

г. Найдите

д. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

Решение.

в. Построим график функции  (см. Рис. 8).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8. График функции f(х)  

С помощью графика решим остальные задачи.

а. Область определения  – проекция графика на ось  

б. Из графика (см. Рис. 9 ) не существует.

Рис. 9. График функции f(x) и ее значение в соотвествующих точках 

г.  Область значения  – проекция графика на ось  

д. Искомое множество совпадает с областью значения функции. Значит  .

Итог урока

На уроке были рассмотрены задачи на нахождение области определения и области значений конкретных функций. Рассмотрены сопутствующие задачи, включая задачи с параметрами. На следующем уроке будут рассматриваться способы задания функций.

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 6, 13, 20 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.131 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).