Задачи на степенные функции y=x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)

Тема: Функции натуральные числа, их свойства и графики

Урок: Задачи на степенные функции

1. Введение

На этом уроке мы вспомним свойства степенных функций, т. е. функций вида , где  – натуральное число, и решим серию типовых задач.

2. Функция

Рассмотрим степенную функцию с четным показателем степени (рис. 1).

3.Функция четная, т.е.

4. Всё семейство функций проходит через три фиксированные точки:

5. Функция не монотонна на всей области определения: функция убывает при ; функция возрастает при

3. Примеры

1. Отметим интервалы знакопостоянства функции на примере функции  (рис. 2).

2. Рассмотрим функцию  и ее интервалы знакопостоянства (рис. 3).

Рассмотрим задачу с параметром:

Найти число корней уравнения

Решение:

Метод решения подобных задач следующий:

1. Изобразить график функции.

2. Пересечь график семейством прямых

3. Определить число точек пересечения и выписать ответ (рис. 4).

При корней нет;

при  уравнение имеет один корень;

при  уравнение имеет два корня. Заметим, что сумма этих корней равна нулю.

4. Функция

Теперь кратко повторим график и свойства степенной функции с нечетным показателем.

Функция (рис. 5).

1.

2.

3. Функция нечетная, т.е. График симметричен относительно точки (0; 0).

4. Любая из функций проходит через три фиксированные характерные точки:

5. Функция монотонно возрастает.

5. Решение задач с использованием свойств степенных функций

Рассмотрим примеры.

1. Найти область значений функции и прочитать её график.

Решение:

 

 

При y убывает,

При y возрастает,

Ответ:

При  функция возрастает,

Ответ:

2. Найдите точки пересечения графиков функций:

Решение:

 

Графики функций пересекаются в точках

Ответ:

Графики функций пересекаются в точках

Ответ:

3. Постройте и прочитайте график функции

Решение:

Еслито yубывает,

Если то yвозрастает,

Если то у убывает,

На примере предыдущей функции рассмотрим важную сопутствующую задачу.

Найти число корней уравнения с параметром:

Решение:

Решить уравнение с параметром означает перебрать все возможные значения параметра и для каждого указать ответ.

Методика решения таких задач нам известна:

1. Построить график функции .

2. Пересечь его семейством прямых.

3. Найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 11).

 

Нет корней при .

Один корень при.

Два корня при.

Три корня при

6. Заключение

Мы вспомнили основные свойства степенных функций с натуральным показателем и решили серию типовых задач. На следующем уроке мы расcмотрим функцию

 

Список  рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресуры интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. Решу ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№311, 312, 321.