09. Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Уравнения, неравенства и их системы

Решение линейных уравнений

Решение любой задачи можно разбить на три основных этапа:

1-й этап – составление математической модели задачи;

2-й этап – решение математической модели;

3-й этап – возврат к задаче, проверка корректности решения.

Сегодня мы поговорим о технике, то есть о втором этапе. Математическая модель может представлять собой уравнение, неравенство или систему уравнений или неравенств. Вы уже знакомы с методами решения некоторых видов уравнений, неравенств и их систем из следующих уроков: Линейное уравнение с одной переменной, Практика. Линейные уравнения и их системы, Квадратные уравнения, Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, Системы уравнений, Линейные неравенства. Системы и совокупности неравенств, Решение квадратных неравенств. Метод интервалов, Практика. Решение неравенств.

Если вы забыли методы решения тех или иных уравнений и неравенств, пересмотрите соответствующие уроки. На сегодняшнем занятии мы разберем решения более сложных математических моделей и покажем, что никакой «сложности» на самом деле в них нет. Мы рассмотрим методы, которые помогут свести различные уравнения и неравенства к видам, которые мы уже умеем решать.Начнем с линейных уравнений.

Задание 1. Длину окружности l можно вычислить по формуле , где R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если ее длина равна 78  м (cчитать ).

Решение

В формуле есть целых две переменных (l и R) и еще константа. Но значение l нам задано, то есть еизвестная величина у нас одна – радиус окружности R. Подставив значения, получим обычное линейное уравнение:

В полученном уравнении неизвестная обозначена буквой R, а не привычным x. Но это условности – неважно, как мы обозначили переменную. Ход решения от этого никак не изменится. Так что решаем как и любое другое линейное уравнение:

Ответ: 13 м.

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение, нужно понять, к какому типу оно относится. Тогда мы сможем выбрать нужный алгоритм. Вспомните: алгоритмы решений линейных и квадратных уравнений отличаются:

1. В линейных уравнениях мы переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные – в другую.

2. В квадратных мы переносим все слагаемые в одну сторону.

Но с первого взгляда не всегда можно правильно определить вид уравнений.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение

На первый взгляд, это уравнение квадратное, т. к. оно содержит неизвестную во второй степени. Поэтому будем действовать по алгоритму решения квадратного уравнения: перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим выражение:

Приведя подобные слагаемые, получим: 10x + 97 = 0

Видим, что слагаемые со второй степенью неизвестной сократились и уравнение превратилось в линейное. Так что используем алгоритм решения линейного уравнения:

Ответ: -9,7.

Решение уравнений вида

Одним из методов решения уравнений является разложение на множители. Вспомним: переносим все слагаемые в одну сторону, полученный многочлен раскладываем на множители. Произведение этих множителей будет равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение

Эта уравнение 6-й степени (есть), общих методов решений уравнений 6-й степени не существует (то есть нет такого универсального метода, использование которого позволяло бы решить любое уравнение 6-й степени, независимо от его вида). Но мы можем попробовать применить метод разложения на множители. Перенесем все слагаемые в левую часть:

Используем формулу разности кубов:

Произведение равно нулю, значит:

Первое уравнение квадратное, мы знаем алгоритм его решения:

По теореме Виета:

Подходят числа:

Второе уравнение – уравнение 4-й степени. Можно попробовать раскрыть скобки и разложить на множители, но из этого ничего не выйдет. Это уравнение не имеет решений. Доказательство этого утверждения вы можете увидеть ниже.

Почему уравнение не имеет решений

Вынесем из выражения общий множитель 2:

Представим выражение следующим образом:

В первых трех слагаемых видим полный квадрат, свернем его по формуле:

Каждое из полученных слагаемых – неотрицательная величина. Их сумма может быть равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю:

Второе слагаемое равно нулю только при:

Но при первое слагаемое равно, а не нулю. Таким образом, сумма этих двух слагаемых не равна нулю ни при каких действительных значениях x:

Уравнение не имеет решений.

Получаем ответ:

Ответ: 2; 4.

Свойства степенных функций

Отметим, что исходное уравнение получилось эквивалентно уравнению. Или, еще можно сказать, уравнение эквивалентно уравнению. То есть если равны кубы выражений, то равны и сами выражения:

Это утверждение можно строго доказать, например, используя свойство кубической функции.

Функция является монотонно возрастающей, и каждому значению y соответствует ровно одно значение x. Поэтому равные значения функции  могут быть только при равных аргументах:

Для сравнения: функция не является монотонной.

Каждому положительному значению y соответствуют два противоположных значения x. Поэтому если значения функции равны, то аргументы или равны, или противоположны:

Так, решая уравнение, мы получаем 2 решения:

Полученные выводы можно обобщить. Любая функция вида

 при нечетных n будет монотонно возрастающей. Поэтому для нечетных n:

А вот график функции при четных n будет похож на квадратичную параболу. И каждому значению функции будет соответствовать два противоположных значения аргумента. Для четных n:

Примеры решений уравнений с использованием этих свойств вы можете увидеть ниже.

Решение некоторых уравнений высших степеней

Пример 1. Решить уравнение:

Решение

Степени нечетные, значит, из равенства пятых степеней следует:

Получили квадратное уравнение:

Корни полученного уравнения можем подобрать по теореме Виета:

Подходят значения:

Ответ:.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение

Степени четные, значит, из равенства шестых степеней следует:

Получили два линейных уравнения. Из первого:

Из второго:

Ответ:

Решение кубических уравнений

Мы знаем алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений. Для кубических уравнений также существуют универсальные алгоритмы решения, но для них описания необходимо использовать понятие комплексных чисел (то есть расширенное множество чисел, в котором определено значение).

Поэтому общие алгоритмы решения кубических уравнений в школьном курсе мы рассматривать не будем. Но для кубических уравнений с целыми коэффициентами, которые имеют хотя бы один целый корень, задачу можно свести к решению квадратного уравнения. Посмотрим, как это сделать.

Для начала отметим, что если некоторое число является корнем кубического уравнения

, то левую часть этого уравнения можно разложить на множители:

Это аналогично тому, как многочлен можно разложить на множители:

, где и – корни этого многочлена.

Анализируя разложение кубического многочлена, можно сделать два важных вывода, которые мы будем использовать для решения кубических уравнений:

1. Если раскрыть скобки, то свободный член. Из этого следует, что если уравнение имеет хотя бы 1

 целый корень, то его следует искать среди делителей свободного члена c.

2. Чтобы найти второй множитель в разложении, необходимо разделить на:

Разделить многочлены можно в столбик аналогично делению чисел в столбик. Если вы забыли, как это делать, посмотрите ниже.

Деление многочленов

Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу, что и деление чисел – столбиком (уголком). Это подбор, только подбор алгоритмизируемый. В частности, для деления многочленов нам пригодится понятие степени многочлена, которое мы вводили.

Пример 1. Выполнить деление:

Решение

Заметим:

Запишем в столбик:

Таким образом:

Ответ:

.

Могут ли многочлены делиться друг на друга нацело? В нашем примере получилось деление с остатком:

Но бывает и так, что многочлены делятся нацело.

Пример 2. Выполнить деление:

Решение

Заметим, что:

Запишем в столбик:

Проверка:

Ответ:

.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение

Ищем целые корни среди делителей свободного члена (числа 3). На эту роль подходят числа

. Проверяем их: если число является корнем уравнения, то при подстановке вместо переменной оно обращает уравнение в верное равенство.

При x=1:

Равенство неверное.

При x=-1:

Равенство верное, значит, x=-1 является корнем уравнения. Тогда многочлен третьей степени можно разложить на множители:

Разделим в столбик:

Получаем:

Тогда исходное уравнение примет вид:

Тогда:

Решая квадратное уравнение, получаем:

Итого, получаем всего 2 различных корня: -1 и 3.

Ответ: -1;3.

Аналогичным образом можно решать не только кубические уравнения, но и уравнения высших степеней. Если удастся подобрать один корень, то после деления в столбик можно понизить степень уравнения на 1. Так, как мы свели кубическое уравнение к квадратному.

Решение иррациональных уравнений

Кроме целых рациональных, мы еще сталкивались с дробно-рациональными и иррациональными уравнениями. Единственная их особенность заключается в том, что при решении нужно учитывать ОДЗ: не определено деление на ноль и извлечение квадратного корня из отрицательного числа (на множестве действительных чисел). В остальном же идея очень простая:

1. Если есть дробь, избавляемся от нее, умножая обе части равенства на соответствующие выражения.

2. Если есть корень, избавляемся от него, возводя в квадрат обе части уравнения.

С решением подобных уравнений вы ознакомились в уроке Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. Ниже вы можете посмотреть ход решения еще одного подобного уравнения.

Решение иррационального уравнения

Пример. Решить уравнение:

Решение

ОДЗ:

Перепишем уравнение:

Возводим в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом помним, что могут возникнуть посторонние корни. Поэтому нужно не забыть в конце подставить полученные решения в исходное уравнение:

Тогда:

Откуда:

Выполняем подстановку и проверяем, что корень входит в ОДЗ:

Проверяем, что корень не является посторонним:

Ответ: -2,5.

Чтобы закрепить решение кубических уравнений, решим иррациональное уравнение, сводящееся к кубическому.

Задание 5. Решить уравнение:

Решение

ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом помним, что могут возникнуть посторонние корни. Поэтому нужно не забыть в конце подставить полученные решения в исходное уравнение:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемые из правой части в левую:

Приведем подобные слагаемые:

Ищем корни среди делителей числа 20. Их достаточно много:

Для удобства начинаем проверять с меньших значений:

Таким образом, 2 является корнем данного уравнения. Разделим в столбик:

Уравнение приобретает вид:

Тогда:

Выполним подстановку. При x=2:

Верное равенство.

При x = 5:

Равенство неверное, не является корнем исходного уравнения.

При x = -2:

Верное равенство.

Ответ:.

Системы уравнений

Перейдем к системам уравнений. Для их решения есть несколько стандартных методов:

1. метод подстановки;

2. метод домножения и сложения.

О них шла речь в соответствующих уроках. Эти методы достаточно универсальны, но в некоторых случаях систему можно решить более простым способом.

Задание 6. Решить систему уравнений:

Решение

Данную систему можно решить методом подстановки, выразив, к примеру, из второго уравнения y через x. Если вам интересен этот способ решения, можете ознакомиться с ним ниже.

Решение системы методом подстановки

ОДЗ:

Умножаем обе части второго уравнения на выражение

:

Раскроем скобки в правой части второго уравнения:

Выразим y во втором уравнении:

Подставим это выражение в первое уравнение:

Приведем подобные слагаемые:

Вынесем -2 за скобку:

Делим обе части уравнения на -2:

Решения системы:

Вторая пара не удовлетворяет  ОДЗ:

.

Ответ:.

Но можно сделать проще. Обратите внимание, что в первом уравнении произведение множителей равно нулю. Значит, хотя бы один из них равен нулю:

Теперь метод подстановки применить намного проще, x=4 подставляем во второе уравнение:

Сокращаем дробь: 1=2

Получили неверное равенство, значит, x=4 не является решением системы.

Подставим y=6 во второе уравнение:

Это значение входит в ОДЗ. Получаем единственное решение:.

Ответ:.

Симметричные системы уравнений

Задание 7. Решить систему уравнений:

Решение 

Эту систему также можно решить методом подстановки. С решением таким методом вы можете ознакомиться ниже.

Решение системы методом подстановки

Во втором уравнении выразим y через x:

, т. к. иначе.

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

Решим первое уравнение системы. Перенесем слагаемое из правой части в левую:

Умножим обе части уравнения на:

Введем замену:

Получим:

По теореме Виета:

Тогда:

Вернемся к замене:

Откуда:

Т. к., получаем следующие пары решений:

Ответ:.

Однако существует и другой способ решения подобных систем. Такие системы называются симметричными, ведь если мы поменяем местами x и y, то уравнения системы не изменятся:

Понятно, что если пара чисел является решением такой системы, то и пара чисел также будет являться решением системы. Этот факт можно использовать для самоконтроля после получения ответа.

В симметричных системах удобно выполнить следующую замену:

Тогда второе уравнение примет вид: b=6

Как выразить сумму квадратов чисел, зная их сумму и произведение, мы также уже знаем. Подобный метод мы применяли в задачах на вычисление значений выражений, содержащих корни квадратного уравнения, используя теорему Виета:

Раскроем скобки в левой части уравнения:

Произведение xy заменяем на b и переносим в правую часть:

Получим систему:

Решим ее методом подстановки:

Возвращаемся к замене:

Теперь, как в теореме Виета, подбираем числа:

Ответ:.

Обратите внимание: применяя теорему Виета, мы искали значения одной переменной. И там нам был не важен порядок, в котором мы укажем эти значения. Здесь же мы ищем значения двух переменных. Поэтому, подобрав числа, нам нужно отдельно записать варианты: когда одно из них x, другое y и наоборот.

Решение неравенств и их систем

Теперь перейдем к решению неравенств и их систем. Основной метод их решения – метод интервалов. С решениями некоторых неравенств вы ознакомились в уроках Решение квадратных неравенств. Метод интервалов и Практика. Решение неравенств.

Ниже вы можете найти решение более сложного дробно-рационального неравенства. Хотя вся «сложность» заключается лишь в довольно громоздких преобразованиях, а ход решения и алгоритм везде одинаковый.

Решение дробно-рационального неравенства

Пример. Решить неравенство:

Решение

ОДЗ:

Откуда:

Решаем соответствующее уравнение:

Разложим числитель первой дроби и знаменатель второй дроби на множители:

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на x-2, приведя, таким образом, дроби к общему знаменателю:

Домножим обе части уравнения на:

В полученном уравнении вынесем за скобку:

Раскроем квадрат:

Приведем подобные слагаемые:

Откуда:

Решим первое уравнение: x=4

Решим второе уравнение. По теореме Виета:

Расставляем на оси особые точки ОДЗ и корни уравнения. Методом пробной точки определяем знаки на каждом интервале. Выбираем интервалы с нужным знаком.

Получаем ответ:.

Ответ:.

В конце нашего занятия мы разберем решение иррационального неравенства.

Задание 8. Решить неравенство:

Решение

Сначала укажем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны. При этом не должно быть деления на ноль, то есть:

Далее нужно решить само неравенство. Это можно сделать сразу методом интервалов, но этот путь будет достаточно громоздким. Попробуем его немного упростить.

1. Умножим обе части неравенства на положительную величину:

2. Слева и справа стоят неотрицательные величины. При возведении в квадрат обеих частей знак неравенства сохранится. Это верно, поскольку при положительных значениях аргумента функция является возрастающей.

 возрастает

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Таким образом, избавляемся от корней в обеих частях неравенства:

Итак, должно выполняться это неравенство и все неравенства из ОДЗ. То есть исходное иррациональное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств:

Теперь осталось решить каждое из неравенств методом интервалов и найти пересечение полученных областей. Но есть одна маленькая деталь: решить уравнение будет проблематично, т. к. оно не имеет целых корней. А мы научились решать кубические уравнения только с целыми корнями. Как же быть?

Внимательно посмотрим на условия из нашей системы.

, а. Значит, их произведение. При этом выражение

, а значит, и больше нуля. То есть из первого второго и четвертого неравенств автоматически следует, что выполняется третье неравенство. Значит, условиеизбыточно и нам достаточно решить систему из трех неравенств:

Проще всего решить второе и третье неравенства:

Для решения первого неравенства воспользуемся методом интервалов:

Решаем соответствующее уравнение:

Вынесем x за скобку:

Решая квадратное уравнение, получаем:

Расставляем корни на оси, методом пробной точки определяем знаки на интервалах, выбираем нужные интервалы.

Отметим на оси решения других двух неравенств и найдем их пересечение.

Получаем ответ:

Ответ:.

Итак, мы вспомнили основные методы решения уравнений, неравенств, а также их систем.

Список литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «fizmat.by» (Источник)

2. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Решить уравнения:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенство: