Простейшие вероятностные задачи

Достоверное событие, невозможное событие

В окружающем нас мире можно наблюдать различные явления, мы будем применять термин «событие», которые обязательно произойдут при некой совокупности условий, такие события называются достоверными.

Достоверное событие – это такое событие, которое обязательно произойдет присоблюдении определенных условий.

Например, если подбросить монету, то она через некоторое время обязательно упадет на стол или на любую другую из окружающих поверхностей. Это пример достоверного события.

Невозможное событие

С другой стороны, существуют невозможные события – это те события, которые не произойдут ни при каких условиях.

Пример невозможного события: при подбрасывании монеты она не упадет ни на одну из окружающих поверхностей.

Оба приведенных примера позволяют однозначно предсказать произойдет данное событие либо не произойдет. Тем не менее такое предсказание носит всего лишь качественный характер, потому что не приводится никаких численных оценок или количественных расчетов для того, чтобы сделать такое предсказание. Идея о том, что возможность наступления того или иного события можно выразить числом, появилась у людей после того, как наблюдалось множество явлений, в которых при соблюдении одних и тех же условий какое-либо событие то наступало, то не наступало.

Пример с табличками «С», «О», «К»

Например, у нас в распоряжении имеются три таблички с нарисованными на них буквами «С», «О», «К». Из этих трех букв можно составить шесть разных комбинаций.

«К», «О», «С»	«С», «К», «О»	«О», «К», «С»
«С», «О», «К»	«О», «С», «К»	«К», «С», «О»

Расположим таблички случайным образом взакрытую. Случайно получим комбинацию «С», «О», «К». Какова вероятность того, что расположенные случайным образом буквы образуют слово «сок»? Если взглянуть на выписанные комбинации табличек, видно, что одна из шести комбинаций образует слово «сок». Таким образом, из общего числа комбинаций букв слово «сок» составляет  часть.

Полученное число  – это вероятность того, что расположенные вот так в случайном порядке буквы образуют нужное слово. Определение понятия «вероятность» пока не введено, однако, даже на этом простом примере можем прочувствовать смысл этого понятия.

Случайное событие, элементарный исход

Пример с буквами – это искусственно созданная ситуация. Однако в реальной жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторые события при соблюдении определенных условий могут произойти, а могут и не произойти, такие события называются случайными. Теория вероятностей как раз и занимается изучением случайных событий, описанием их свойств и характеристик. В предыдущем примере случайным событием является выпадение слова «сок» при случайном расположении трех букв.

Под словами «будут соблюдены определенные условия» подразумевается, например, в эксперименте с монетой, во-первых, подбрасывание монеты, во-вторых, наличие земного тяготения, и, в-третьих, наличие поверхности, на которую монета может упасть.

Для краткости всю эту совокупность условий будет называть испытанием или опытом.

Задача о монете

Изменим условие задачи. Будем говорить не о том, упадет ли монета вообще, а будем говорить о том, какая из ее сторон выпадет. В этом случае мы имеем дело с классическим примером случайного события. Итак, подбрасывание монеты – это испытание, а выпадение, например, орла – случайное событие.

Элементарный исход – каждый из возможных исходов события.

В примере с монетой имеем два элементарных исхода: выпадение орла и выпадение решки. Никаких других возможностей рассматривать не будем, то есть мы не учитываем то, что монета может упасть на ребро, прислониться к стенке и т. д. При этом оба элементарных исхода будем называть равновозможными, или равноправными, то есть будем считать, что при одном броске имеются одинаковые шансы получить на выходе орла или решку.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если в результате этого исхода событие наступает.

В примере с монетой имеем дело с двумя случайными событиями (выпадение орла и выпадение решки), для которых определено по одному одноименному благоприятствующему исходу.

Для того чтобы избежать терминологической путаницы, еще раз остановимся на условии задачи. Имеем дело с двумя элементарными событиями, для каждого из которых определен благоприятствующий исход.

Событие 1: выпадение орла (Рис. 1).

Благоприятствующий исход: выпадение орла.

 

Рис. 1. Орел

Событие 2: выпадение решки (Рис. 2).

Благоприятствующий исход: выпадение решки.

Рис. 2. Решка

Обозначения в задачах

 и т. д. (заглавные латинские) – случайные события.

Пусть событие  – выпадение орла, а событие  – выпадение решки.

 – (строчные латинские) – количество элементарных исходов.

Общее понятие вероятности, классическое определение

Пусть у некоторого испытания имеется всего  равновозможных элементарных исходов. Среди них ровно  исходов являются благоприятствующими для некоторого события . Тогда отношение  будет называться вероятностью события  при проведении данного испытания. Обозначается эта вероятность .

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события  при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие , к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.

Из определения видно, что:

· Численное значение вероятности всегда лежит в промежутке  (потому что как общее число исходов, так и число благоприятствующих исходов не могут быть отрицательными и число благоприятствующих исходов не может быть больше общего числа исходов).

·  Вероятность равна нулю для невозможного события и вероятность равна единице для достоверного события.

· Для всех остальных, для случайных событий вероятность больше нуля и меньше единицы.

Применим определение, данное выше, к примеру с подбрасыванием монеты.

Общее число элементарных исходов .

Исходов благоприятствующих событию : , поскольку только в одном случае из двух может выпасть орел. Таким образом, .

Соответственно, .

Задание для самостоятельного выполнения: в примере с перестановками трех букв, опираясь на определение вероятности, докажите, что действительно в этой задаче вероятность того, что случайно размещенные буквы образуют слово «сок», равна .

Рассмотрим ряд задач, которые, как и задача с подбрасыванием монеты, уже стали классическими при изучении основ теории вероятностей.

Задача 1 (об игральной кости)

Какова вероятность того, что при единичном бросании игральной кости выпадет одно очко?

Событие  – выпадение 1.

 (число граней, на которых нарисовано одно очко).

Общее количество исходов  (общее число граней).

Искомая вероятность .

Ответ: .

Задача 2 (о шарах)

Имеются 5 черных и 5 белых шаров. Все шары помещаются в непрозрачный ящик и перемешиваются. Какова вероятность того, что наугад вынутый из ящика шар окажется черным?

Общее количество исходов – это общее количество шаров, находящихся в ящике. .

Событие  – вынимание черного шара.

Число элементарных исходов, благоприятствующих событию  равно числу черных шаров в ящике: .

Искомая вероятность .

Ответ: .

Задача 3 (о лотерейных билетах)

Выпущено 50 000 лотерейных билетов, среди которых 100 являются выигрышными. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Общее количество исходов – это общее количество лотерейных билетов .

Событие  – покупка выигрышного лотерейного билета.

Число элементарных исходов, благоприятствующих событию  равно числу всех выигрышных билетов .

Искомая вероятность .

Ответ: .

Во всех рассмотренных примерах мы имели дело с испытаниями, состоящими из одного акта. Рассмотрим более сложные задачи, в которых присутствуют серийные испытания.

Задача 4 (о монете)

Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что все три раза выпадет решка?

Изобразим результаты испытаний в виде древовидной структуры.

Обозначим элементарное событие «выпадение орла» буквой О, а элементарное событие «выпадение решки» буквой Р.

При первом подбрасывании возможно два результата: орел и решка (Рис. 3).

Рис. 3. Вероятные исходы при первом броске

При втором подбрасывании у каждого исхода есть по два, так называемых наследника (Рис. 4), то есть при втором подбрасывании мы можем получить либо орла, либо решку.

Рис. 4. Вероятные исходы при втором броске

При третьем испытании снова получаем по два исхода (Рис.5): либо орла, либо решку.

Рис. 5. Вероятные исходы при третьем броске

Соберем все элементарные исходы, наступившие в данной ветке, например, в ветке на Рис. 6 выпал орел (О), орел (О) и решка (Р).

Рис. 6. Выпадение орла, затем орла и решки

В ветке на Рис. 7 выпали РОР.

Рис. 7. Выпадение решки, затем орла и снова решки

Общее число элементарных исходов

Событие  – троекратное выпадение решки (Рис. 8).

Рис. 8. Троекратное выпадение решки

.

Таким образом, искомая вероятность .

Ответ: .

Случайное событие (продолжение), несовместимые и противоположные события

Два случайных события называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность наступление другого.

Например, при единичном подбрасывании монеты случайное событие «выпадение орла» полностью исключает случайное событие «выпадение решки», то есть эти события несовместны. Другой пример: при бросании игральной кости событие «выпадение одного очка» полностью исключает событие «выпадение шести очков», эти два события также несовместны. Противоположный пример: если бросают две игральные кости, то случайное событие, состоящее в следующем «выпадение трех очков на первой кости», и случайное событие «выпадение пяти очков на второй игральной кости», не исключают друг друга, такие события являются совместными.

Событие  называют противоположным событию , если событие  наступает тогда и только тогда, когде не наступает собятие .

Примеры практически те же: выпадение орла и решки – это противоположные события. При подбрасывании игральных кости выпадение четного и нечетного количества очков – также события противоположные. При стрельбе по мишеням попадание в цель и промах – противоположные события.

Обозначение:  – событие, противоположное событию .

Задание для самостоятельного выполнения: доказать, что противоположные события являются частным случаем несовместных событий.

Вероятности противоположных событий связаны одним свойством. Оно позволяет вычислять вероятность события , если известна вероятность события , то есть противоположного событию .

Теорема 1, пример

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Эта теорема обладает хорошим практическим приложением, с ее помощью можно вычислять вероятности событий в том случае, когда вероятность противоположного события подсчитать гораздо легче, чем вероятность самого события.

Пример 1

Какова вероятность того, что при трёх последовательных бросках игральной кости хотя бы один раз выпадет 6 очков?

Решение

При одном бросании кубика равновозможно выпадение одного, двух, трёх, четырёх, пяти или шести очков. При втором бросании, вне зависимости от предыдущего броска, возможны те же результаты, для третьего броска – то же самое.

При каждом броске возможно выпадение одного из шести значений. По правилу умножения, общее количество возможных исходов события  исходов.

Событие  – выпадение хотя бы одной шестерки.

Противоположное событие  – шестерка не выпадет ни одного раза. При этом на кубике при каждом броске выпадет два, три, четыре либо пять очков. Если еще раз применить правило умножения, то получаем: количество благоприятствующих исходов для противоположного события  возможных элементарных исходов.

Таким образом, вероятность события , то есть вероятность того, что шестерка не выпадет ни разу, равна:

Сразу же можно найти вероятность исходного события , так как события  и  – противоположные.

 

Другой способ решения задачи

Рассмотрим решение этой же задачи напрямую, без применения теоремы о сложении вероятностей.

Применим тот же способ, который использовался в задаче о троекратном подбрасывании монеты. Разница состоит лишь в том, что число элементарных исходов на каждом шаге равно шести, а не двум.

На рисунке (Рис. 9) можно увидеть дерево вариантов для этой задачи. Из всех возможных 216 конечных исходов нужный исход появляется в 91 случае.

Рис. 9. Дерево вариантов для трех бросков кости

Сравнив данный способ решения с тем, который был приведен выше, ясно, что гораздо проще подсчитать вероятность противоположного события, то есть вероятность невыпадения шестерки, чем рисовать такую сложную древовидную схему.

Можно с уверенностью утверждать, что любой другой прямой способ подсчета вероятности выпадения шестерки все равно будет гораздо сложнее, чем подсчет вероятности невыпадения шестерки.

Ранее на уроке были рассмотрены самые распространенные, классические, примеры на подсчет вероятности, а далее мы рассмотрим менее распространенные, но не менее интересные примеры, в которых рассказывается о том, как подсчитывать так называемые геометрические вероятности.

Геометрическая вероятность

Случайным образом выбирается одно из решений неравенства . Какова вероятность того, что оно окажется также решением неравенства ?

Решение

Решением первого неравенства  будет , нанесем его на числовую прямую (Рис. 10).

Рис. 10. Графическое решение первого неравенства

Решением второго неравенства  будет . Нанесем полученный промежуток на числовую прямую (Рис. 11).

Рис. 11. Графическое решение первого и второго неравенств

Построим пересечение двух множеств (Рис. 12). В пересечении получится отрезок . Также изобразим этот отрезок на числовой прямой.

Рис. 12. Пересечение решений первого и второго неравенств

На рисунке видно, что если выбирать точки на отрезке  абсолютно случайным образом, то число благоприятствующих исходов  пропорционально длине маленького отрезка , именно тогда решения обоих неравенств совпадут.

Общее число элементарных исходов будет пропорционально длине всего отрезка .

Тогда отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу будет равно отношению длин соответствующих отрезков: .

Данный пример демонстрирует метод решения задач на поиск геометрической вероятности. Типичное условие такой задачи состоит в том, чтобы найти вероятность попадания случайным образом выбранной точки в некоторое подмножество заданного в условии задачи геометрического места точек. Это могут быть одномерные задачи (ее пример рассмотрен выше), это могут быть также задачи двумерные и трехмерные.

В случае одномерной задачи необходимо найти отношение длин каких-либо отрезков, заданных в условии. В случае двумерных задач нужно искать отношение площадей. Например, это может быть вероятность того, что случайным образом выбранная точка принадлежит какой-либо части квадрата. Также могут быть задачи трехмерные. Тогда нужно искать отношение объемов.

Заключение

Было введено понятие случайного события. Случайное событие – это сугубо математический объект. Кроме того, была проведена параллель между реальными явлениями и случайными событиями. Далее было определено новое понятие – вероятность случайного события, даны формулы для вычисления вероятности случайного события для ряда примеров случайных событий. На дальнейших уроках будет рассмотрено применения понятий вероятности, то есть вычисление этой величины будет переведено в более практическую плоскость.

 

Список литературы

1. Бунимович Б.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5–9 классы: Пособие для общеобразоват. учеб. заведений М.: Дрофа, 2002. – 160 с
2. Теория вероятностей и статистика. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. 2-е изд., перераб. – М.: МЦНМО, Московские учебники, 2008.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. 7–9 классы. Учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathhelpplanet.com (Источник).
2. Vm.psati.ru (Источник).
3. Nsu.ru (Источник).
4. Cde.osu.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинако­вых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?
2. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч?
3. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попали 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.