Случайным образом выбирается одно из решений неравенства . Какова вероятность того, что оно окажется также решением неравенства ?

Решение

Решением первого неравенства будет , нанесем его на числовую прямую (Рис. 10).

Рис. 10. Графическое решение первого неравенства

Решением второго неравенства будет . Нанесем полученный промежуток на числовую прямую (Рис. 11).

Рис. 11. Графическое решение первого и второго неравенств

Построим пересечение двух множеств (Рис. 12). В пересечении получится отрезок . Также изобразим этот отрезок на числовой прямой.

Рис. 12. Пересечение решений первого и второго неравенств

На рисунке видно, что если выбирать точки на отрезке абсолютно случайным образом, то число благоприятствующих исходов пропорционально длине маленького отрезка , именно тогда решения обоих неравенств совпадут.

Общее число элементарных исходов будет пропорционально длине всего отрезка .

Тогда отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу будет равно отношению длин соответствующих отрезков: .

Данный пример демонстрирует метод решения задач на поиск геометрической вероятности. Типичное условие такой задачи состоит в том, чтобы найти вероятность попадания случайным образом выбранной точки в некоторое подмножество заданного в условии задачи геометрического места точек. Это могут быть одномерные задачи (ее пример рассмотрен выше), это могут быть также задачи двумерные и трехмерные.

В случае одномерной задачи необходимо найти отношение длин каких-либо отрезков, заданных в условии. В случае двумерных задач нужно искать отношение площадей. Например, это может быть вероятность того, что случайным образом выбранная точка принадлежит какой-либо части квадрата. Также могут быть задачи трехмерные. Тогда нужно искать отношение объемов.