Говоря о случайном событии, мы пользуемся бинарной логикой. То есть говорим только о 2 возможных исходах: событие произойдет или не произойдет. Третьего не дано. Но окружающие нас события не ограничиваются простыми «да» или «нет». Многие события можно описать численно. В таком случае мы будем уже говорить о случайной величине.

Самый простой пример – бросок кубика. Мы можем охарактеризовать его числом точек на выпавшей грани. Это и будет случайная величина. При многократном подбрасывании монетки мы также можем выделить случайную величину – количество выпавших орлов и решек. Возраст, рост и вес случайного человека, количество листьев на дереве, высота стола – все это примеры случайных величин.

Конечно, как и в случае с событиями, здесь можно усомниться в слове «случайные». Рост и вес человека определяются его генетическими предрасположенностями и образом жизни; условия роста листьев можно отследить и предсказать их количество; а высота стола вообще определена стандартами производства.

Объяснение «случайности» здесь будет абсолютно такое же, как и для событий: на результат влияет множество факторов. И все их отследить и предсказать невозможно. Даже в случае с размерами стола – на производстве можно задать его высоту с точностью до сантиметров или даже миллиметров. Но при более точном измерении размеры разных изделий будут незначительно, но отличаться.

Перейдем к описанию случайных величин. Если для случайного события нам достаточно было задать вероятность этого события, то для случайной величины нам нужно каждому ее значению поставить в соответствие некоторую вероятность, при этом сумма этих вероятностей будет равна 1. Таким образом, мы зададим распределение случайной величины.

Например, при броске кубика каждое число выпадает с вероятностью . Распределение можно указать с помощью таблицы:

Значение СВ
Вероятность

Или задать на графике (см. рис. 2).

Рис. 2. Распределение случайной величины

Для подбрасываний монетки распределение количества выпавших орлов будет иметь следующий вид (см. рис. 3).

Рис. 3. Распределение количества выпавших орлов

Важной характеристикой случайной величины является математическое ожидание. Оно определяется как сумма произведений значений величины на их вероятность :

Математическое ожидание указывает на значение, которое «в среднем» принимает случайная величина. Например, математическое ожидание числа точек при броске кубика равно:

Чтобы объяснить значения слов «в среднем», нам снова понадобится закон больших чисел. Для случайных величин он принимает следующую формулировку: среднее арифметическое значений конечной выборки из распределения близко к математическому ожиданию этого распределения. Чем больше элементов в выборке, тем ближе будет значение.

Разберемся, что это значит, на примере броска кубика. Если мы будем подбрасывать кубик и записывать результаты бросков, мы получим выборку – статистический набор данных. Так вот, закон больших чисел утверждает, что при достаточно большом количестве бросков среднее арифметическое этой выборки будет близко к математическому ожиданию.

Заключение

Таким образом, для большинства прикладных задач закон больших чисел позволяет свести изучение случайных величин к изучению статистического набора данных. При этом математическое ожидание случайной величины будет соответствовать среднему арифметическому набора данных; вероятность появления величины – относительной частоте этой величины в выборке. Остальные характеристики, такие как мода, медиана, дисперсия и стандартное отклонение у случайной величины, будут такие же, как и у набора данных. А как работать с характеристиками статистического набора данных, мы уже знаем из урока о статистике.

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал mathhelpplanet.com (Источник)
Интернет-портал mathprofi.ru (Источник)
Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Домашнее задание

Оценить, выгодно ли упаковывать чемодан в аэропорту. От соотношения каких параметров это зависит?
Какова вероятность того, что при подбрасываниях монетки раз выпадет орел? Как изменится решение, если нужно найти вероятность выпадения орлов подряд?
Стрелок каждым выстрелом попадает в мишень с вероятностью . Какова вероятность того, что при выстрелах он попадет в мишень хотя бы раз?