Введение
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Элементы теории тригонометрических функций. Основные формулы
1.1. Конспект.
Урок посвящен повторению основных формул, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс числа t. Их применение иллюстрируется на примере решения типовых заданий. Рассмотрено одно вычислительное задание - по одной из тригонометрических функций найти остальные - и четыре задания на упрощение тригонометрических выражений.
Повторение. Определение функций y = cos t и y = sin t
1. Повторение. Определение функций 
и
.
Поместим единичную окружность на координатную плоскость.
Центр окружности совпадает с началом координат. Радиус окружности равен единице.
Значит, длина окружности равна 2π, 
.
Возьмем любое число t. Ему соответствует единственная точка на окружности Мt. (Длина дуги А
равна t.) У этой точки две координаты: 
. Абсциссу точки М называют косинусом, а ординату синусом числа t.
Основные формулы, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс числа t
2. Основные формулы, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс некоторого числа t.
Основное тригонометрическое тождество. Определение тангенса и котангенса.
1) 
Таким уравнением описывается единичная окружность. Это равенство означает, что для любой точки окружности квадрат ее абсциссы и квадрат ее ординаты в сумме дают единицу.
Абсцисса точки единичной окружности – это косинус, а ордината – синус соответствующего числа t.
Перед нами основное тригонометрическое тождество.
2) 
;
Тангенсом числа t называют отношение синуса к косинусу.
Соответственно, котангенсом – отношение косинуса к синусу.
3) 
Действительно, 
c
, значит, 
.
Перед нами формула, которая связывает значения тангенса и котангенса одного и того же числа t.
Следствия из основного тригонометрического тождества.
1) 
Формула верна при 
Разделим основное тригонометрическое тождество
на 
(
. Получим: 
или 
2) 
Формула верна при 
Разделим основное тригонометрическое тождество
на 
, (
. Получим: 
или 
.
Пример применения основных формул
3. Пример применения основных формул.
Дано 
. Найти значения 
.
Начнем с геометрической интерпретации условия. Косинус – это абсцисса точки на единичной окружности. Значению косинуса -1/3 соответствуют точки К и F.
По условию 
, значит, искомая точка – это точка F.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем значение синуса.
Подставим в формулу значение косинуса. Вычислим.
Извлечем квадратный корень из полученного числа и узнаем два возможных значения для синуса.
Выберем из двух возможных значений одно соответствующее условию. Ордината точки F – число положительное.
Используем определение тангенса и найдем соответствующее значение.
= 
Используем формулу, которая связывает значения тангенса и котангенса.
Упростить выражение. Пример 1.
4. Упростить 
.
Выполним возведение в квадрат.
Приведем подобные слагаемые.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
Упростить выражение. Пример 2.
5. Упростить 
.
.
.
В числителе сгруппируем тригонометрические функции и вынесем минус единицу за скобки.
В знаменателе вынесем общий множитель за скобки.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
Упростить выражение. Пример 3.
6. Упростить 
.
.
Заметим, что числитель представляет собой разность квадратов.
Воспользуемся формулой разности квадратов; выполним сокращение.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
Упростить выражение. Пример 4.
7. Упростить 
.
Выполним сложение. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель представляет собой произведение исходных знаменателей.
В числителе раскроем скобки. Упростим полученное выражение.
В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
Заключение
1.2.Список рекомендованной литературы.
1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса. Башмаков М.И.
3. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.
4. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Учебник в двух частях. Мордкович А.Г.
1.3. Дополнительные веб-ресурсы.
http://slovo.ws/urok/algebra - учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке, можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.
http://math-portal.ru/matematika-shkolnaya/.
1.4. Сделай дома.
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин, 2012
Домашнее задание: 459, 465, 467.
Другие задания: 469, 470.
