Разбор решения простейшего линейного неравенства 2х + 1 > 0
Линейное неравенство. Общий вид линейных неравенств 
. Рассмотрим решение конкретного неравенства: 2х+1>0. Частным решением неравенства, а его можно подобрать, является такое значение х, которое удовлетворяет исходному неравенству. Например, число 5. При его подстановке получаем верное числовое неравенство. И таких частных решений мы можем подобрать много. Но нужно найти все решения, то есть найти общее решение неравенства.
Общее линейное неравенство решается довольно просто.
|
1 шаг: 2х > -1 |
Перенесли второе слагаемое «+1» из левой части в правую, изменив его знак на противоположный. |
|
2 шаг: |
Обе части линейного неравенства делим на 2 (число 2 положительное, значит, знак неравенства менять не нужно). |
|
|
Изобразим на числовой прямой найденное множество. Это все числа, расположенные справа от -1/2. |
|
Ответ: |
|
|
Или ответ: (-1/2;∞). |
Предпочтительная форма записи в виде интервала. |
Ранее мы рассматривали метод интервалов. Он применим и к такому неравенству. Введем функцию y=2х+1. Построим график этой функции. Очевидно, что график проходит через точки (0; 1); (-1/2; 0) (рис. 1).
Рис. 1. График
Мы видим наглядно, что при всех значениях аргумента от -∞ до корня -1/2 функция отрицательна. Здесь график находится под осью Х.
А при всех значениях аргумента от корня до +∞ функция положительная. Здесь график находится над осью Х.
Таким образом, интервалы знакопостоянства присутствуют и здесь. Значит, и такие неравенства можно решать методом интервалов.
Разбор решения простейшего двойного неравенства 3 < х + 1 < 8
Двойное неравенство можно рассматривать как систему, состоящую из двух неравенств.
Это знак эквивалентности, или равносильности. Он означает, что выполняются только такие действия, которые не искажают множество решений.
В неравенствах бесчисленное множество решений. Нельзя не потерять ни одного корня, ни одного решения, нельзя и приобрести какого-то решения. Поэтому допускаются только эквивалентные преобразования.
Эквивалентные, или равносильные преобразования.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
Над осью – решение первого неравенства. Это луч от -∞ до 7. Под осью – решение второго неравенства. Это луч от 2 до +∞.
Решить систему – означает найти все х, которые одновременно удовлетворяют и первому неравенству, и второму. А это те х, над которыми штриховка в обе стороны (рис. 2).
Ответ: 2 < х < 7
Или ответ: (2; 7)
2 и 7 не входят в решения неравенства. Поэтому скобка круглая.
2 < х < 7
Решим неравенство вторым способом. Перенесем «+1» в обе части неравенства, сменив знак.
Получилось то же самое решение.
Определение модуля и его геометрический смысл
Модулем числа t называется само число t, если оно больше либо равно 0. Либо противоположное ему число t, если оно меньше 0
Иногда определение дают иначе. Модуль t равен t для положительных чисел и для нуля. И модуль t равен -t, когда под модулем стоит отрицательное число либо 0.
Пример. 
Модулем называется само число, если оно не отрицательное, и противоположное число, если оно отрицательное.
Рис. 3. Модуль числа 3
Геометрически (рис. 3)
– это расстояние от точки с координатой 3 до 0.
– это расстояние от точки с координатой -3 до 0.
– это расстояние от точки с координатой х до 0.
– это расстояние от точки с координатой х -3 до 0, т. е. это расстояние от точки х до 3.
– это расстояние от точки х до -3
Линейное неравенство, осложненное наличием модуля. |х - 2| < 3; |х - 2| ≥ 3. Два способа решения
1 способ. Применим общий приём освобождения от модуля на основе его определения.
Чтобы освободиться от модуля, нужно рассмотреть два случая.
Случай 2
Если под модулем стоит неотрицательное число, то модуль можно просто отбросить.
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
[2;5) (рис. 4)
Случай 2
Если под модулем стоит число отрицательное, то нужно отбросить модуль, поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
(-1;2) (рис. 5)
Решение первой системы и решение второй системы нужно объединить.
Рис. 6. Иллюстрация к примеру
-1 < х <-5
(-1; 5) (рис. 6)
2 способ. Используем геометрический смысл модуля.
Что такое модуль х-2? Это расстояние между точками с координатами х и 2. Согласно условию неравенства, это расстояние не должно превышать 3 (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к примеру
Поставим на числовой оси точку 2. Отступим от нее на 3 вправо и влево по оси. Справа получим точку 2 + 3 = 5; слева точку 2 - 3 = -1
Итак, геометрический смысл неравенства: найти те значения х, которые отстоят от 2 не больше, чем на 3. То есть, можно записать 
-3+2 < х <3+2
-1 < х < 5
Решим двойное неравенство. Перенесем «-2» с противоположным знаком вправо и влево.
Решим противоположную задачу.
Что такое модуль х-2? Это расстояние между точками с координатами х и 2. Согласно условию неравенства, это расстояние должно превышать 3 или быть равно 3.
Рис. 8. Иллюстрация к примеру
Поставим на числовой оси точку 2. Отложим 3 в одну сторону и 3 в другую сторону. Где же те значения х, которые отстоят от 2 на расстояние 3 или далее?
На расстоянии 3 находятся точки -1 и 5. На большем расстоянии находятся точки левее -1 и правее 5 (рис. 8).
Итак, ответ: 
.
Заключение
Список литературы
- А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.
- А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.
- Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.
- Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.
- Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.
- Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания (Источник).
- Math-portal.ru (Источник).
Домашнее задание
- А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010. 1.17 – 1.19, 1.22
