Для описания различных физических, экономических, статистических процессов и закономерностей в математике есть удобный инструмент – функции. С определением функции и с ее различными видами вы знакомы из уроков 7 и 8 класса:

Главное отличие функции от произвольной зависимости между величинами: каждому аргументу функции соответствует ровно одно ее значение.

Для анализа закономерности, связывающей несколько величин, нужно рассмотреть свойства соответствующей функции. Кроме того, во многих случаях построение графика функции позволяет быстро определить ее основные характеристики. Обо всем этом шла речь в уроках 8 класса:

Вы уже знаете, как определить свойства и как построить графики базовых функций и функций, полученных при различных преобразованиях: сдвиге, растяжении, симметрии. Но что делать, если мы столкнемся с функцией, которую мы не можем получить из базовой с помощью этих преобразований? Рассмотрим пример.

Задание 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

Эту функцию мы не можем получить из базовых, используя известные нам преобразования. Соответственно, построить ее график будет не так просто. Но это не помешает нам изучить ее свойства. Затем можно будет по точкам построить эту функцию с учетом ее свойств. Приступим к исследованию.

1. Область определения.В функции нет извлечения корня или деления на переменную. Недопустимых значений аргумента нет, тогда область определения:

2. Область значений. В базовых функциях у нас появлялись ограничения на область значений в следующих случаях:

Наличие четной степени многочлена. Квадрат и любая другая четная степень выражения является неотрицательной величиной.
Наличие квадратного корня. Значение квадратного корня всегда неотрицательное.
Деление на переменную. Разделив ненулевое число на переменную, мы никогда не получим ноль.

Ни один из этих случаев в нашей функции не присутствует. Поэтому можно предположить, что область значений функции:

Подтвердить или опровергнуть это предположение можно после построения графика. Или еще одним способом, о котором вы можете узнать ниже.

Аналитический способ нахождения области значений функции

Мы говорили о том, что прямые и обратные функции обладают похожими свойствами и имеют много общего. В частности, графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой , так как в прямой и обратной функциях, по сути, переменные и меняются местами (см. рис. 1). И если точка с координатами принадлежит графику прямой функции, то точка с координатами принадлежит графику обратной (см. рис. 2).

Рис. 1. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой

Рис. 2. Точка принадлежит графику прямой функции, точка – графику обратной функции

Область значений прямой функции – это множество всех возможных значений , но тогда для обратной функции, как мы только что сказали, это будет множество всех возможных значений . То есть областью определения.

Таким образом, задачу нахождения области значений функции можно заменить на эквивалентную – нахождение естественной области определения обратной функции.

Рассмотрим в качестве примера функцию:

Найдем обратную функцию, поменяв местами переменные в прямой:

Найдем ОДЗ обратной функции:

(мы помним, что у каждой из ветвей параболы будет своя обратная функция) (см. рис. 3).

Рис. 3. Графики функций и

У обеих полученных функций:

И действительно, область значений квадратичной функции – все неотрицательные числа.

Конечно, указанный способ не всегда удобен. Например, в нашем примере:

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение – выразить через :

Но решить такое кубическое уравнение в общем виде довольно сложно (в школе этот метод вообще обычно не изучают). Так что и найти ОДЗ полученного для обратной функции выражения будет нелегко.

Но в некоторых ситуациях описанный метод позволяет точно и быстро определить область значений функции аналитически, без построения графики.

3. Нули функции. Для нахождения нулей нужно решить уравнение:

Вынесем за скобку:

Тогда:

Второе уравнение не имеет действительных корней. Получаем единственный ноль функции:

4. Промежутки знакопостоянства. Нули функции разбивают ось на промежутки знакопостоянства. Методом пробной точки можно определить знаки на этих интервалах:

Таким образом (см. рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к заданию 1

Вспомним, что проделанные нами операции – основа метода интервалов для решения неравенств.

5. Промежутки монотонности. Мы знаем, что функции и являются возрастающими. Логично предположить, что сумма выражений также будет возрастать с увеличением значения . Докажем это строго.

Функция монотонно возрастает, если для любых верно, что . То есть нужно доказать, что из , то . Рассмотрим ряд преобразований:

Сгруппируем вместе третьи и первые степени:

Разложим первую часть выражения по формуле разности кубов:

Вынесем общий множитель за скобку:

Проанализируем полученное неравенство:

Неполный квадрат является неотрицательной величиной. Выделим полный квадрат, чтобы убедиться в этом:

Значит, выражение во второй скобке – положительная величина:

Произведение положительных величин – положительная величина. Значит, неравенство верно при . Следовательно, исходное неравенство тоже верно и функция является возрастающей.

6. Четность:

Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, область определения у функции симметрична относительно (то есть полученное равенство будет выполняться для всех значений переменной из области определения), следовательно, функция нечетная.

7. Периодичность. Очевидно, функция не является периодической. Хотя бы потому, что мы доказали, что она монотонно возрастает на всей области определения, а значит, никакие два ее значения не будут повторяться.

8. Построение графика. Для построения графика воспользуемся тем, что функция нечетная. Поэтому нам достаточно построить график для неотрицательных значений аргумента и отобразить его симметрично относительно центра координат. Составим таблицу значений:

Зная, что функция и дальше будет возрастать, получаем график (см. рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к заданию 1

Отобразив симметрично относительно центра координат, получим график целиком (см. рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к заданию 1

Используя описанный подход, мы можем исследовать и строить графики различных функций. В старших классах мы изучим такую характеристику функции, как производная, которая позволит нам строить графики и анализировать поведение еще более сложных функций.