Классы
Предметы

Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Функции

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 150 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Функции
На этом уроке мы повторим и систематизируем наши знания о функциях, их свойствах и графиках.

Исследование функций

Для описания различных физических, экономических, статистических процессов и закономерностей в математике есть удобный инструмент – функции. С определением функции и с ее различными видами вы знакомы из уроков 7 и 8 класса:

  1. Что такое функция?
  2. Линейная функция (Г.Г. Гаицгори)
  3. Свойства функций. Базовые функции

Главное отличие функции от произвольной зависимости между величинами: каждому аргументу функции соответствует ровно одно ее значение.

Для анализа закономерности, связывающей несколько величин, нужно рассмотреть свойства соответствующей функции. Кроме того, во многих случаях построение графика функции позволяет быстро определить ее основные характеристики. Обо всем этом шла речь в уроках 8 класса:

  1. Свойства функций. Базовые функции
  2. Преобразование графиков функций

Вы уже знаете, как определить свойства и как построить графики базовых функций и функций, полученных при различных преобразованиях: сдвиге, растяжении, симметрии. Но что делать, если мы столкнемся с функцией, которую мы не можем получить из базовой с помощью этих преобразований? Рассмотрим пример.

 

Задание 1. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение

Эту функцию мы не можем получить из базовых, используя известные нам преобразования. Соответственно, построить ее график будет не так просто. Но это не помешает нам изучить ее свойства. Затем можно будет по точкам построить эту функцию с учетом ее свойств. Приступим к исследованию.

1. Область определения.В функции нет извлечения корня или деления на переменную. Недопустимых значений аргумента нет, тогда область определения:

2. Область значений. В базовых функциях у нас появлялись ограничения на область значений в следующих случаях:

  • Наличие четной степени многочлена. Квадрат и любая другая четная степень выражения является неотрицательной величиной.
  • Наличие квадратного корня. Значение квадратного корня всегда неотрицательное.
  • Деление на переменную. Разделив ненулевое число на переменную, мы никогда не получим ноль.

Ни один из этих случаев в нашей функции не присутствует. Поэтому можно предположить, что область значений функции:

Подтвердить или опровергнуть это предположение можно после построения графика. Или еще одним способом, о котором вы можете узнать ниже.


 

Аналитический способ нахождения области значений функции

Мы говорили о том, что прямые и обратные функции обладают похожими свойствами и имеют много общего. В частности, графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой , так как в прямой и обратной функциях, по сути, переменные  и  меняются местами (см. рис. 1). И если точка с координатами  принадлежит графику прямой функции, то точка с координатами  принадлежит графику обратной (см. рис. 2).

Рис. 1. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой

Рис. 2. Точка  принадлежит графику прямой функции, точка  – графику обратной функции

Область значений прямой функции  – это множество всех возможных значений , но тогда для обратной функции, как мы только что сказали, это будет множество всех возможных значений . То есть областью определения.

Таким образом, задачу нахождения области значений функции  можно заменить на эквивалентную – нахождение естественной области определения обратной функции.

Рассмотрим в качестве примера функцию:

Найдем обратную функцию, поменяв местами переменные в прямой:

Найдем ОДЗ обратной функции:

(мы помним, что у каждой из ветвей параболы будет своя обратная функция) (см. рис. 3).

Рис. 3. Графики функций  и

У обеих полученных функций:

И действительно, область значений квадратичной функции – все неотрицательные числа.

Конечно, указанный способ не всегда удобен. Например, в нашем примере:

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение – выразить  через :

Но решить такое кубическое уравнение в общем виде довольно сложно (в школе этот метод вообще обычно не изучают). Так что и найти ОДЗ полученного для обратной функции выражения будет нелегко.

Но в некоторых ситуациях описанный метод позволяет точно и быстро определить область значений функции аналитически, без построения графики.


 3. Нули функции. Для нахождения нулей нужно решить уравнение:

Вынесем  за скобку:

Тогда:

Второе уравнение  не имеет действительных корней. Получаем единственный ноль функции:

4. Промежутки знакопостоянства. Нули функции разбивают ось  на промежутки знакопостоянства. Методом пробной точки можно определить знаки на этих интервалах:

Таким образом (см. рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к заданию 1

Вспомним, что проделанные нами операции – основа метода интервалов для решения неравенств.

5. Промежутки монотонности. Мы знаем, что функции  и  являются возрастающими. Логично предположить, что сумма выражений  также будет возрастать с увеличением значения . Докажем это строго.

Функция монотонно возрастает, если для любых  верно, что . То есть нужно доказать, что из , то . Рассмотрим ряд преобразований:

Сгруппируем вместе третьи и первые степени:

Разложим первую часть выражения по формуле разности кубов:

Вынесем общий множитель  за скобку:

Проанализируем полученное неравенство:

Неполный квадрат является неотрицательной величиной. Выделим полный квадрат, чтобы убедиться в этом:

Значит, выражение во второй скобке – положительная величина:

Произведение положительных величин – положительная величина. Значит, неравенство  верно при . Следовательно, исходное неравенство тоже верно и функция является возрастающей.

6. Четность:

Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, область определения у функции симметрична относительно  (то есть полученное равенство будет выполняться для всех значений переменной из области определения), следовательно, функция  нечетная.

7. Периодичность. Очевидно, функция  не является периодической. Хотя бы потому, что мы доказали, что она монотонно возрастает на всей области определения, а значит, никакие два ее значения не будут повторяться.

8. Построение графика. Для построения графика воспользуемся тем, что функция нечетная. Поэтому нам достаточно построить график для неотрицательных значений аргумента и отобразить его симметрично относительно центра координат. Составим таблицу значений:

Зная, что функция и дальше будет возрастать, получаем график (см. рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к заданию 1

Отобразив симметрично относительно центра координат, получим график целиком (см. рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к заданию 1

Используя описанный подход, мы можем исследовать и строить графики различных функций. В старших классах мы изучим такую характеристику функции, как производная, которая позволит нам строить графики и анализировать поведение еще более сложных функций.

Графики уравнений

Давайте вспомним, что график функции – это множество всех точек на плоскости, координаты  и  которых удовлетворяют соотношению .

Аналогичным образом можно ввести понятие графика уравнения. Графиком уравнения будет называться множество всех точек на плоскости, координаты  и  которых удовлетворяют этому уравнению.

В большинстве случаев задачу построения графика уравнения мы можем свести к той, решение которой мы уже знаем – построению графика функции. Конечно, есть и исключения, но о них мы поговорим немного позже.

Итак, если из уравнения мы выразим переменную y через переменную x, то сможем построить график соответствующей функции, он же будет и графиком уравнения.

Например, нужно построить график уравнения . Выражаем  через :

Строим график полученной линейной функции (см. рис. 7). Он же и будет графиком уравнения .

Рис. 7. График уравнения

Может получиться так, что  нельзя однозначно выразить через . Например:

Тогда:

В этом случае графиком уравнения будет объединение этих графиков функций (см. рис. 8).

Рис. 8. График уравнения  – объединение графиков

Обратите внимание, что у функции, по определению, каждому значению  соответствовало единственное значение . А вот в случае графика уравнения значению  может соответствовать и более одного значения .

Теперь поговорим об исключениях. Во-первых, в процессе выражения переменной  эта переменная вовсе может исчезнуть из уравнения, например:

В таком случае мы получим уравнение с одной неизвестной. Графиком такого уравнения будет прямая, параллельная оси  (см. рис. 9):

Если же уравнение будет иметь более одного решения, то графиком будет набор соответствующих прямых.

Рис. 9. График уравнения

Во-вторых, после выражения переменной  мы можем получить такую функцию, с графиком которой мы еще не сталкивались. Конечно, таких функций много, но мы остановимся только на одном типе.

 

Задание 2. Построить график уравнения:

Решение

Если мы будем выражать , то получим:

Тогда:

Как строить графики таких функций, мы не знаем. Поэтому здесь нужен другой подход. Посмотрим на наше уравнение и вспомним уроки геометрии (Уравнения прямой и окружности). Уравнение окружности с центром в точке ) и радиусом  имеет вид:

Таким образом, графиком уравнения  будет окружность с центром в начале координат и радиусом  (см. рис. 10). И графиками всех уравнений вида  будут являться окружности.

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 2

Отметим еще один момент. Выражая , мы получили, что график уравнения  – это объединение графиков двух функций:

Можем сделать вывод, что верхняя полуокружность будет соответствовать графику , а нижняя – графику  (см. рис. 11). Таким образом, мы теперь знаем вид графика еще одной базовой функции: . Из нее можно вывести другие функции подобного вида, применяя различные преобразования.

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 2

Итак, мы ознакомились с тем, как можно построить график уравнения с двумя переменными. Вы могли обратить внимание, что в основном мы работали с линейными и квадратными уравнениями. И это вполне естественно, ведь в большинстве моделей различных природных процессов мы используем линейные и квадратичные зависимости.

Если рассмотреть график линейного уравнения в общем виде, то это всегда будет прямая (см. рис. 12). Об этом подробно рассказано в уроке: Координаты, уравнения прямой и окружности.

Рис. 12. График линейного уравнения

Квадратное уравнение с двумя переменными также можно записать в общем виде. Графиками таких уравнений являются так называемые кривые второго порядка (см. рис. 13). К ним относятся окружность, парабола, гипербола и пр. Подробнее об этом вы можете узнать ниже.

Рис. 13. Кривые второго порядка


 

Кривые второго порядка

Общий вид уравнения второго порядка с двумя переменными  и  выглядит так:

Причем, .  

Ведь иначе мы получим линейное уравнение :

Если взять коэффициенты ,  и , получим уравнение:

Или просто:

Графиком этого уравнения, как мы знаем, является парабола (см. рис. 14).

Рис. 14. Парабола

Если коэффициенты ,  и , получим уравнение:

Или:

Графиком этого уравнения является гипербола (см. рис. 15).

Рис. 15. Гипербола

При , ,  получим уравнение окружности (см. рис. 16):

Рис. 16. Уравнение окружности

Если же коэффициенты , то окружность вытянется вдоль одной из осей и получится фигура, которая называется эллипсом (см. рис. 17).

Рис. 17. Эллипс

При практически любом другом сочетании коэффициентов мы получим одну из вышеперечисленных фигур: параболу, гиперболу или эллипс. Только она может быть повернута или растянута. Эти фигуры в общем называют кривыми второго порядка, так как они задаются уравнениями второго порядка.

Правда, есть и исключения, так называемые вырожденные случаи. Так, при некоторых сочетаниях коэффициентов не существует значений  и , удовлетворяющих уравнению. Например:

Кроме того, в некоторых случаях графиком будет пара прямых. Например, как в рассмотренном ранее случае:

Кривые второго порядка имеют широкое применение. При моделировании различных объектов – в архитектуре, при проектировании механизмов, в компьютерной графике – нельзя обойтись лишь одними прямыми линиями. Естественно, нужны «скругления» и «сглаживания», которые как раз и можно задать уравнениями второго порядка. Если же говорить о физике как об основном потребителе математических инструментов, то и в ней есть множество применений кривым второго порядка. Так, траекториями движения планет вокруг Солнца являются эллипсы; тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе; а если запустить тело со скоростью, большей, чем вторая космическая, оно будет двигаться по гиперболе.


 

Графический метод решения уравнений и их систем

Итак, теперь мы знаем, как строить графики различных функций и уравнений. Это можно использовать для решения уравнений, систем уравнений и неравенств с двумя переменными. Соответственно, такой метод решения будет называться графическим методом. Начнем с решения систем уравнений.

 

Задание 3. Решить систему уравнений:

Решение

Мы можем построить графики каждого из уравнений. Графиком уравнения  является окружность с центром в начале координат и радиусом  (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к заданию 3

Для построения графика второго уравнения выразим :

Графиком полученной функции будет прямая (см. рис. 19). Для ее построения найдем две точки:

Рис. 19. Иллюстрация к заданию 3

Все точки окружности соответствуют решениям первого уравнения, точки прямой – решениям второго. А решение системы – это множество точек, удовлетворяющих обоим уравнениям. Это будут точки пересечения графиков: точка  с координатами  и точка  с координатами .

Ответ: ,.

Итак, для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого из уравнений и найти точки их пересечения. С помощью графического метода удобно находить количество решений системы.

Конечно, можно найти и сами численные значения, но это удобно делать только в тех случаях, когда корни системы – целые числа, как это было в рассмотренном примере. И даже тогда в конце решения нужно подставить предполагаемые координаты точек пересечения в исходную систему и проверить, что они в точности являются ее решениями. Ведь по рисунку может казаться, что у точки координата , а она, на самом деле, может быть ;  или, к примеру, .

Если же значения не будут целыми, то графический метод даст только приблизительные значения. Для точного решения нужно будет применить другие методы решения систем – метод подстановки, замены и прочие.

Кроме решения систем, графический метод можно применить к решению уравнений с одной неизвестной.

 

Задание 4. Используя графический метод, решить уравнение:

Решение

Рассмотрим систему уравнений:

Как мы выяснили ранее, если мы построим графики уравнений  и , то точки пересечения этих графиков будут соответствовать решению системы. С другой стороны, решая систему методом подстановки, мы получим уравнение из условия . Естественно, решая систему разными методами, мы должны получить один и тот же ответ. Значит, решение исходного уравнения соответствует координате  точек пересечения графиков. Решаем графически систему:

Строим графики функций  и  на одной координатной плоскости.

Для построения графика функции  строим график функции  (см. рис. 20):

Рис. 20. Иллюстрация к заданию 4

Параллельно переносим график влево на  единицы вдоль оси  (см. рис. 21):

Рис. 21. Иллюстрация к заданию 4

Для построения графика функции  определим две точки:

 

Построим прямую (см. рис. 22):

Рис. 22. Иллюстрация к заданию 4

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

Чтобы убедиться, что это не приближенное, а точное решение, выполним проверку – подставим в исходное уравнение :

Получили правильное числовое равенство, значит  – корень уравнения.

Ответ: .

Итак, для решения уравнения графическим методом нужно построить графики функций, соответствующих его левой и правой части, и найти абсциссы точек их пересечения. При этом ограничение на применение метода те же: удобно искать количество решений, но при дробных корнях уравнения метод вряд ли поможет при поиске непосредственно значений корней.

Уравнения с монотонными функциями

В предыдущем примере можно обратить внимание, что мы получили лишь один корень уравнения. При этом одна из функций была возрастающей , а вторая – убывающей . Интересно, что и для любых других монотонно возрастающих и убывающих функций мы будем получать не более одного корня. Интуитивно это понятно: одна функция идет вверх, другая вниз – пересечься они могут не более одного раза. С более строгим математическим обоснованием этого факта вы может ознакомиться ниже.

 


 

Почему уравнения будут иметь не более одного корня

Проведем доказательство методом от противного. Пусть функции пересекаются хотя бы в двух точках  и . Пусть координаты этих точек  и  (см. рис. 23). Названия точек мы можем выбирать как угодно, поэтому точкой  можем назвать точку, которая стоит левее. При этом:

Рис. 23. Точки  и

Поскольку точки  и  принадлежат возрастающей функции, то из  следует, что  (см. рис. 24).

Рис. 24. Точки  и  принадлежат возрастающей функции

С другой стороны, эти же точки принадлежат убывающей функции (см. рис. 23). Значит, из  следует, что .

Рис. 25. Точки  и  принадлежат убывающей функции

Получили противоречие. Значит, исходное предположение было неверно и такие функции пересекаются не более чем в одной точке.


Итак, если одной части уравнения соответствует возрастающая функция, а другой – убывающая, то уравнение имеет не более одного корня. Этот факт можно использовать следующим образом: если мы подберем хотя бы одно решение такого уравнения, то других корней гарантированно не будет.

 

Задание 5. Решить уравнение:

Решение

Вряд ли получится решить это уравнение стандартными методами. Тут не так-то просто избавиться от корней, да и после избавления от иррациональности получится уравнение очень большой степени и непонятно, что с ним делать.

Но мы можем отметить следующее. Функция  является возрастающей (см. рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к заданию 5

Действительно,  и  возрастают с увеличением , их сумма также будет возрастать (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к заданию 5

Посмотрим на функцию, соответствующую правой части : возрастающая (см. рис. 28);  будет убывающей (отразили относительно оси ) (см. рис. 29);  – подняли на  вверх, функция останется убывающей (см. рис. 30).

Рис. 28. Иллюстрация к заданию 5

Рис. 29. Иллюстрация к заданию 5

Рис. 30. Иллюстрация к заданию 5

Итак, мы получили ситуацию, описанную ранее: левой части уравнения соответствует возрастающая функция, правой – убывающая. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Попробуем подобрать его: начнем с небольших чисел и будем подбирать так, чтобы корни извлекались. На эту роль подходит значение . Проверим:

Получим верное равенство, значит,  является корнем уравнения. При этом, по доказанному ранее утверждению, уравнение не будет иметь других корней.

Ответ: .

С решением еще одного уравнения этим методом вы можете ознакомиться ниже.


 

Решение уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение

ОДЗ:

На промежутке  функция возрастает, а функция  – убывает (см. рис. 31). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим:

Рис. 31. Иллюстрация к заданию

Аналогично на промежутке  функция возрастает, а функция  – убывает (см. рис. 32). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим:

Рис. 32. Иллюстрация к заданию

Здесь важно заметить, что мы были вынуждены рассматривать свойства левой и правой частей на двух промежутках. Почему так? Почему нельзя было утверждать, что уравнение имеет всего один корень, ведь его левая часть – возрастающая функция, а правая – убывающая?

Дело в том, что в отношении правой части мы не можем утверждать, что она является убывающей функцией на всей своей области определения. Действительно: , но . Получаем противоречие определению убывающей функции: , а условие  не выполняется.

Если посмотреть на график гиперболы (см. рис. 33), то становится понятно, в чем здесь дело.

Рис. 33. Иллюстрация к заданию

Действительно, при движении по левой ветви слева направо мы будем двигаться вниз – функция убывает. И по правой тоже. Но вот при переходе с левой ветви на правую мы не просто пойдем вверх – мы с минус бесконечности перескочим на плюс бесконечность.

Такая ситуация возникает из-за того, что функция в точке  не определена и в этой точке возникает разрыв. Поэтому корректно говорить только о том, что гипербола убывает на интервале  и на интервале .

Запись:  правильная, а вот:  уже нет, так как, объединяя интервалы в одно множество, мы требуем, чтобы при  условие  выполнялось для всех  из указанного множества, то есть, к примеру, для , , что уже неверно.


 

Системы неравенств с двумя переменными

Ранее мы уже сталкивались с неравенствами и их системами, в которых была одна переменная. При этом решения мы отмечали на одной оси. Аналогичным образом можно рассматривать неравенства и с двумя переменными. Соответственно, их решения будем отмечать, используя две оси, то есть на координатной плоскости

Метод решения будет полностью аналогичен методу интервалов. Вспомните:

  1. Для решения неравенства нужно было решить соответствующее уравнение.
  2. Решения уравнения разбивали ось на интервалы.
  3. Чтобы выбрать нужные интервалы, пользовались методом пробной точки.

В случае неравенства с двумя переменными также нужно будет записать соответствующее уравнение и построить его график. Он разобьет плоскость на несколько областей. Далее методом пробной точки нужно будет выбрать нужную область (или несколько таких областей).

 

Задание 6. Решить систему неравенств:

Решение

Для решения системы нужно найти решения отдельных неравенств, а затем найти область их пересечения. Решаем неравенство:

Шаг 1. Переходим к уравнению . Графиком этого уравнения является парабола  (см. рис. 34). Она разбивает плоскость на две области.

Рис. 34. Иллюстрация к заданию 6

Шаг 2. Методом пробной точки определяем, какая из областей нам подходит. Точка  удовлетворяет неравенству: , значит, выделенная область является решением этого неравенства (см. рис. 35).

Рис. 35. Иллюстрация к заданию 6

Можно рассуждать и так: нам нужно, чтобы , то есть нас интересуют те точки, ординаты которых больше ординат точек параболы. Или проще – точки, которые выше, чем точки параболы.

Решаем неравенство .

Шаг 1. Переходим к уравнению . Графиком этого уравнения является прямая  (см. рис. 36). Она разбивает плоскость на две области.

Рис. 36. Иллюстрация к заданию 6

Шаг 2. Методом пробной точки определяем, какая из областей нам подходит. Точка (0,0) не удовлетворяет неравенству: , значит, другая область является решением этого неравенства (см. рис. 37).

Рис. 37. Иллюстрация к заданию 6

Пересечение заштрихованных областей и есть решение системы неравенств (см. рис. 38).

Рис. 38. Иллюстрация к заданию 6

Стоит отметить, что неравенства нестрогие, поэтому границы областей также являются решением. Еще говорят, что система неравенств  задает построенную фигуру. Любые другие плоские фигуры также можно описать системой неравенств с двумя переменными.

 

Список литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
  2. Интернет-портал youclever.org (Источник)
  3. Интернет-портал bymath.net (Источник)

 

Домашнее задание

1. Построить график уравнения:

2. Решить графически систему уравнений:

3. Решить систему неравенств: