Последний тип выражений, про преобразования которых мы сегодня поговорим, – это иррациональные выражения. Некоторые методы преобразований иррациональных выражений были разобраны в уроке 8 класса («Свойства квадратного корня»). Мы разберем еще несколько заданий на применение свойств квадратных корней.

Задание 4. Вычислить значение выражения:

Решение.

Используем известные нам свойства корней. Произведение корней можем записать под общий корень:

Отношение корней также записываем под общий корень:

Удобно раскрыть скобки в числителе, используя формулу разности квадратов:

По определению корня:

Получаем:

Значит:

Получаем:

Снова воспользуемся свойством корней:

Ответ: .

Задание 5. Вычислить значение выражения:

Решение.

Здесь у нас нет произведения или отношения корней, поэтому воспользоваться теми же свойствами, что и в предыдущем примере, нам не удастся. Вспомним важную идею: упростить выражение с квадратным корнем можно, выделив под корнем квадрат некоторого выражения, тогда можно использовать определения корня. Попробуем это сделать.

Выражение должно быть квадратом некоторого выражения. Сравним с формулой квадрата разности:

Слагаемое с корнем должно быть удвоенным произведением , а число – это оставшиеся слагаемые . Теперь наша задача – подобрать такие , что:

По сути, нужно найти хотя бы одно решение этой системы уравнений. Удобно это делать следующим образом:

Теперь подберем такие числа , что:

Это:

Тогда:

В итоге получаем:

Аналогично, используя формулу квадрата суммы, получим:

Тогда исходное выражение примет вид:

По свойству корня получаем:

– отрицательная величина, поскольку , поэтому:

– положительная величина, поэтому:

Тогда:

Ответ: .

Только что мы сравнили значения двух величин: . Это сделать легко, ведь мы знаем, что лежит в промежутке от до . Вспомните: ; . Значит, значение лежит в промежутке от до .

Задание 6. Сравнить значения выражений и .

Решение.

В подобных случаях будет пользоваться тем, что функция монотонно возрастает при положительных значениях (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к заданию 6

Чем нам это поможет? Следующим: для и , если , то ; для и , если , то . Это означает, что положительные числа и мы можем возвести в квадрат и сравнить:

Осталось сравнить числа и . Сделаем это аналогичным образом, возведя их в квадрат:

Так как , то , тогда .

Мы выяснили, что , значит, (для и ). В итоге:

Ответ: .

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал youclever.org (Источник)
Интернет-портал math10.com (Источник)
Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Упростить выражение:

2. Упростить выражение:

3. Сравнить значения выражений: