Раскрытие скобок и разложение на множители
Начнем урок с целых алгебраических выражений. О них мы говорили в уроках 7 класса: («Числовые и алгебраические выражения», «Действия с числовыми и алгебраическими выражениями», «Одночлены», «Многочлены», «Формулы сокращенного умножения», «Разложение многочленов на множители»).
При упрощении таких выражений можно выделить два основных приема:
- раскрытие скобок;
- разложение на множители.
Чтобы раскрыть скобки, можно:
а) использовать распределительный закон один или несколько раз:
Например:
б) использовать готовые результаты раскрытия скобок – формулы сокращенного умножения (ФСУ), например формулу квадрата суммы:
Например:
Для разложения на множители можно применить следующие методы:
а) вынести общий множитель за скобки (использовать распределительный закон справа налево):
Например:
б) использовать метод группировки, поочередно вынося за скобки общие множители (то есть несколько раз применить вынесение общего множителя за скобки), например:
в) использовать ФСУ справа налево, например формулу разности квадратов:
г) для разложения на множители квадратного трехчлена 
можно решить соответствующее квадратное уравнение:
Тогда трехчлен можно представить в виде:
,
где 
– корни этого квадратного уравнения.
Данный метод можно расширить. В трехчленах вида 
можно вынести за скобки коэффициент 
и свести задачу к предыдущей:
Например:
Ищем корни полученного уравнения:
Находим дискриминант:
Извлекаем корень из дискриминанта:
Находим корни:
Тогда:
Для получения разложения исходного многочлена умножаем произведение на 
:
Чтобы избавиться от дроби, можно умножить на первую скобку:
Обратите внимание, что этот же результат можно было получить и методом группировки: 
Но для этого нужно подобрать необходимое представление слагаемого с 
в виде суммы. Использование формулы через корни квадратного уравнения дает универсальный алгоритм.
В многочленах вида 
можно вынести за скобки 
(при условии 
):
Такие выражения называются однородными, т. к. суммарная степень переменных в каждом из слагаемых выражения одинакова, в данном примере она равна 
(; 
; ):
Сделаем замену:
И мы сведем задачу к предыдущей:
Пример:
Сделаем замену:
Получаем выражение:
Теперь нужно разложить на множители многочлен в скобках:
Ищем корни полученного уравнения:
Находим дискриминант:
Извлекаем корень из дискриминанта:
Находим корни:
Тогда:
Для получения разложения исходного многочлена умножаем произведение на 
:
Чтобы избавиться от дробей, распишем так:
Затем умножим первую скобку на , вторую – на :
Вернемся к исходному выражению с учетом замены:
Тогда:
Снова избавимся от дробей. Для этого распишем:
Первый 
умножим на первую скобку, второй – на вторую:
Таким образом, мы разложили на множители исходный многочлен:
Итак, мы выделили два основных действия с целыми алгебраическими выражениями: раскрытие скобок и разложение на множители.
Но когда какое действие нужно применить для упрощения? Однозначно на этот вопрос ответить нельзя: все зависит от того, что мы дальше собираемся делать с полученным выражением. Но можно дать несколько советов:
- при каждом преобразовании искать и приводить подобные слагаемые;
- постараться разложить выражение на множители, если это не удалось – раскрыть скобки и разложить на множители после приведения подобных слагаемых;
- если это возможно, стараться избавлять от дробей путем раскрытия скобок.
Выделение полного квадрата
Кроме упомянутых выше преобразований, можно выделить еще одно – выделение полного квадрата. Это преобразование нужно для оценки значения выражений. Чтобы выделить полный квадрат в выражении вида , вынесем за скобки :
Представим второе слагаемое в скобках в виде удвоенного произведения:
Дополним до квадрата:
Раскрыв скобки, получим:
Выражение в таком виде удобно оценить. Квадрат – неотрицательная величина:
Умножив обе части неравенств на , получим:
(умножая на отрицательное число, меняем знак неравенства на противоположный).
Прибавив к обеим частям неравенств 
, можем оценить исходное выражение:
В общем виде полученные выражения достаточно громоздкие, поэтому готовый результат не стоит запоминать. Проще повторить те же шаги, но для конкретных значений , 
и 
.
Треугольник Паскаля
Вернемся к формулам сокращенного умножения (ФСУ). Мы знаем эти формулы для квадратов и кубов. А можно ли получить формулы для степеней больше третьей? Оказывается, можно. Именно этим мы сейчас и займемся.
Начнем со степеней суммы. Мы знаем ФСУ квадрата и куба суммы:
Их легко получить, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Получить более высокие степени мы можем аналогично:
Для наглядности раскроем скобки следующим образом: умножим сначала все слагаемые второй скобки на (стрелки влево), затем – на (стрелки вправо) (см. рис. 1).
Рис. 1. Умножение слагаемых второй скобки на и
В такой записи подобные слагаемые оказались друг под другом. Сложив их, окончательно получим:
Аналогичным образом можно получить степени 
,
и выше. Для ускорения процесса можно оставить только коэффициенты. Тогда каждый следующий ряд коэффициентов будет иметь единицы по краям, а остальные коэффициенты – это сумма соседних чисел из предыдущего ряда. Так, для пятой степени: по краям единицы, 
; 
; 
; 
.
Можно дополнить еще единицей сверху (ведь 
). Полученный набор коэффициентов называется треугольником Паскаля (см. рис. 2). Пользуясь им, можно получить коэффициенты многочлена 
для любого натурального 
Рис. 2. Треугольник Паскаля
Бином Ньютона
Данный способ является рекуррентным, поскольку позволяет получить последующие коэффициенты, зная предыдущие. Вспомните: рекуррентным способом мы задавали числовые последовательности: зная предыдущий один или несколько членов, мы могли вычислить последующие.
Но рекуррентный способ не всегда удобен, поскольку требует вычисления всех предыдущих значений. Так, например, для получения коэффициентов 
потребуется достаточно много времени.
Можно ли как-то еще вычислить коэффициенты? Снова обратимся к последовательностям. Более удобным способом задания последовательности была формула -го члена. Тогда просто зная номер 
, мы могли вычислить -й член последовательности, не вычисляя все предыдущие. И было бы неплохо найти общую формулу для коэффициентов в разложении , зависящую только от .
Посмотрим на раскрытие скобок немного под другим углом.
Раскрывая скобки, мы выбираем из каждого множителя либо , либо . Чтобы получить одночлен вида 
нужно 
раз выбрать множитель , а множитель – оставшиеся 
раз.
Это комбинаторная задача. Из скобок мы должны выбрать раз множитель . Это можно сделать 
способами (порядок, естественно, не важен). Из оставшихся скобок нужно выбрать множителей :
Итак, получить одночлен 
при раскрытии скобок мы можем способами. Значит, приведя подобные слагаемые, получим коэффициент перед этим одночленом. Тогда все разложение будет выглядеть так:
Полученная формула носит название бинома Ньютона. В отличие от треугольника Паскаля она позволяет сразу получить коэффициенты многочлена, ведь значение можно вычислить, зная и :
Итак, мы показали, как можно получить формулу -й степени суммы. Если в ней заменить на 
, то сразу же получим -ю степени разности:
и так далее с чередованием знаков.
Бином Ньютона
В школьной математике вы встретите не очень много задач, в которых вам понадобится знание бинома Ньютона. Но не стоит его относить к «очередному бесполезному факту».
Бином Ньютона является основой для теории бесконечных рядов. А на основе рядов работает вся вычислительная техника: начиная от простейшего калькулятора и заканчивая огромными серверами, которые рассчитывают всевозможные экономические, физические и технические задачи. Прогнозирование курсов валют, расчет полета ракеты, вычисление толщины обшивки самолета – все эти задачи решаются с использованием обобщения бинома Ньютона.
Рассмотрим простой пример. Разложим выражение 
по биному Ньютона:
Получили сумму, где каждое следующее слагаемое имеет 
в более высокой степени.
В случае если 
(например, 
), слагаемые с 
и выше степенями будут малы:
При расчете реальных задач мы всегда используем приближения с нужной нам точностью. Поэтому для многих задач слагаемыми со степенями и выше можно пренебречь:
Например:
Для сравнения посчитаем точнее: 
Согласитесь, посчитать 
намного быстрее, чем возводить 
в 
-ю степень. Скорость больше, а точность почти не пострадала: ответы отличаются чуть больше, чем на 
.
При вычислениях такое округление существенно ускоряет расчет. А при составлении математической модели любой ситуации формула 
означает, что при малых значениях величин процессы можно рассматривать как линейные (
). Вспомните физику: при малом удлинении сила упругости пропорциональна удлинению (
); при небольшом расстоянии от поверхности Земли потенциальная энергия пропорциональна высоте (
).
Разность и сумма -х степеней
Теперь перейдем к разности -х степеней. Посмотрим на ФСУ, которые мы уже знаем:
Попробуем получить подобное выражение для разности четвертых степеней. Для этого воспользуемся свойством степеней:
Так мы можем сделать для любых четных степеней. Кроме того, этим свойством степеней можно воспользоваться для показателей, которые кратны трем. Тогда можно будет применить формулу разности кубов. Но что делать даже с выражением, например, (
), не очень понятно.
Чтобы проследить общую закономерность, умножим вторую и третью скобки в полученном разложении для разности четвертых степеней:
Тогда:
Итак, мы видим в разложении разности множитель 
. Кроме того, всевозможные одночлены, составленные из 
и , степень которых на 
меньше, чем в исходном выражении. Можем обобщить:
Попробуем заменить на . Для четных значений: 
, поэтому мы придем к еще одной формуле разности -х степеней:
Для нечетных степеней
, так что получим формулу суммы -х степеней:
Посмотрим, как можно применить эти ФСУ.
Решим уравнение:
Какое число нужно возвести в 
-ю степень, чтобы получить ? Только . Т. е. решением уравнения является одно число:
Посмотрим на это уравнение с другой стороны. Перенесем в левую часть:
Представим, как разность седьмых степеней:
Используя формулу сокращенного умножения, разложим левую часть на множители:
Произведение множителей равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю:
Мы знаем, что действительный корень у этого уравнения всего один: . Это соответствует решению первого из уравнений, но не является решением второго (
). Других решений нет, значит, уравнение 
не имеет решений в действительных числах.
Если бы мы столкнулись с подобным уравнением -й степени, то непонятно, как бы мы его решали, поскольку для уравнений выше 
-й степени не существует универсальных алгоритмов решений. Но, используя ФСУ, мы смогли показать, что уравнение не имеет решений.
Дробно-рациональные и степенные выражения
Теперь вспомним о степенных и дробно-рациональных выражениях. Подробно о них шла речь в уроках класса («Степень с натуральным показателем») и 
класса («Виды чисел», «Дробно-рациональные выражения», «Практика. Виды чисел. Упрощение рациональных выражений»).
Дробные выражения, по сути, отношение двух целых алгебраических выражений. Поэтому при упрощении дробно-рациональных выражений мы будем работать отдельно с числителем и знаменателем, а также будем использовать свойства дробей. Действий с дробями не так много, можем все их перечислить.
- Сокращение дроби. Для этого максимально раскладываем числитель и знаменатель на множители, сокращаем одинаковые (при необходимости – учитываем ОДЗ выражения, так как знаменатель дроби не может равняться 0).
- Сложение и вычитание дробей. Максимально раскладываем знаменатели на множители, приводим дроби к общему знаменателю. После сложения/вычитания полученную дробь сокращаем, если это возможно.
- Умножение, деление, возведение в степень. Каждую дробь максимально раскладываем на множители. После выполнения соответствующей операции полученную дробь сокращаем, если это возможно.
Задание 1. Упростить выражение:
Решение.
Действие первое – деление. Перед делением разложим числители и знаменатели дробей на множители. В первой дроби такое разложение уже выполнено. Во второй – знаменатель можно разложить по формуле разности кубов:
У нас остался многочлен второй степени:
Можно ли его разложить на многочлены первой степени? Чтобы ответить на этот вопрос, найдем корни многочлена.
Дискриминант отрицательный, значит, многочлен не имеет действительных корней. Таким образом, мы максимально разложили знаменатель второй дроби на множители.
Выполним деление – умножим на перевернутую дробь:
Сокращаем полученную дробь:
Второе действие – вычитание:
Знаменатели одинаковые, поэтому сразу можем выполнить вычитание:
Пытаемся разложить на множители числитель:
Полученную дробь можно сократить:
Формально, стоит добавить, что исходная дробь равна 
, если 
. Действительно, при 
исходная дробь не определена, а выражение 
– определено. Но сейчас мы говорим о технике упрощения выражений, и в таких заданиях будем подразумевать, что требуется выполнить упрощения для всех допустимых значений переменных (если в условии отдельно не оговорено иное).
Ответ: .
В случае когда целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе содержат только умножение и возведение в степень, преобразование выражений становится еще проще. Ведь, по сути, они уже разложены на множители, только эти множители надо грамотно сгруппировать. Здесь можно дать несколько советов:
- Сгруппировать отдельно степени с численными основаниями, отдельно – с буквенными.
- Если в основании степени стоит составное число, нужно разложить его на простые множители.
Задание 2. Упростить и найти значение выражения при 
:
Решение.
Используя свойства степени, группируем отдельно числовые множители, отдельно переменные:
По свойству степеней:
Мы упростили выражение. При получим:
Ответ: 
.
Задание 3. Упростить выражение:
Решение.
Видим в основании составное число 
, раскладываем его на простые множители:
Используем свойства степеней:
Тогда:
При делении используем свойства степеней с одинаковым основанием:
Ответ: 
.
Иррациональные выражения
Последний тип выражений, про преобразования которых мы сегодня поговорим, – это иррациональные выражения. Некоторые методы преобразований иррациональных выражений были разобраны в уроке 8 класса («Свойства квадратного корня»). Мы разберем еще несколько заданий на применение свойств квадратных корней.
Задание 4. Вычислить значение выражения:
Решение.
Используем известные нам свойства корней. Произведение корней можем записать под общий корень:
Отношение корней также записываем под общий корень:
Удобно раскрыть скобки в числителе, используя формулу разности квадратов:
По определению корня:
Получаем:
Значит:
Получаем:
Снова воспользуемся свойством корней:
Ответ: 
.
Задание 5. Вычислить значение выражения:
Решение.
Здесь у нас нет произведения или отношения корней, поэтому воспользоваться теми же свойствами, что и в предыдущем примере, нам не удастся. Вспомним важную идею: упростить выражение с квадратным корнем можно, выделив под корнем квадрат некоторого выражения, тогда можно использовать определения корня. Попробуем это сделать.
Выражение 
должно быть квадратом некоторого выражения. Сравним с формулой квадрата разности:
Слагаемое с корнем 
должно быть удвоенным произведением 
, а число 
– это оставшиеся слагаемые 
. Теперь наша задача – подобрать такие 
, что:
По сути, нужно найти хотя бы одно решение этой системы уравнений. Удобно это делать следующим образом:
Теперь подберем такие числа 
, что:
Это:
Тогда:
В итоге получаем:
Аналогично, используя формулу квадрата суммы, получим:
Тогда исходное выражение примет вид:
По свойству корня получаем:
– отрицательная величина, поскольку 
, поэтому:
– положительная величина, поэтому:
Тогда:
Ответ: .
Только что мы сравнили значения двух величин: 
. Это сделать легко, ведь мы знаем, что 
лежит в промежутке от до . Вспомните: 
; 
. Значит, значение лежит в промежутке от до .
Задание 6. Сравнить значения выражений 
и 
.
Решение.
В подобных случаях будет пользоваться тем, что функция 
монотонно возрастает при положительных значениях (см. рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к заданию 6
Чем нам это поможет? Следующим: для 
и 
, если 
, то 
; для и , если , то . Это означает, что положительные числа 
и 
мы можем возвести в квадрат и сравнить:
Осталось сравнить числа 
и 
. Сделаем это аналогичным образом, возведя их в квадрат:
Так как 
, то 
, тогда 
.
Мы выяснили, что 
, значит, 
(для и ). В итоге:
Ответ: 
.
Список литературы
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал youclever.org (Источник)
- Интернет-портал math10.com (Источник)
- Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Упростить выражение:
2. Упростить выражение:
3. Сравнить значения выражений:
