Мы знаем алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений. Для кубических уравнений также существуют универсальные алгоритмы решения, но для них описания необходимо использовать понятие комплексных чисел (то есть расширенное множество чисел, в котором определено значение ).

Поэтому общие алгоритмы решения кубических уравнений в школьном курсе мы рассматривать не будем. Но для кубических уравнений с целыми коэффициентами, которые имеют хотя бы один целый корень, задачу можно свести к решению квадратного уравнения. Посмотрим, как это сделать.

Для начала отметим, что если некоторое число является корнем кубического уравнения , то левую часть этого уравнения можно разложить на множители:

Это аналогично тому, как многочлен можно разложить на множители:

,

где и – корни этого многочлена.

Анализируя разложение кубического многочлена, можно сделать два важных вывода, которые мы будем использовать для решения кубических уравнений:

1. Если раскрыть скобки, то свободный член . Из этого следует, что если уравнение имеет хотя бы целый корень, то его следует искать среди делителей свободного члена .

2. Чтобы найти второй множитель в разложении, необходимо разделить на :

Разделить многочлены можно в столбик аналогично делению чисел в столбик. Если вы забыли, как это делать, посмотрите ниже.

Деление многочленов

Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу, что и деление чисел – столбиком (уголком). Это подбор, только подбор алгоритмизируемый. В частности, для деления многочленов нам пригодится понятие степени многочлена, которое мы вводили.

Пример 1. Выполнить деление:

Решение

Заметим:

Запишем в столбик:

Таким образом:

Ответ: .

Могут ли многочлены делиться друг на друга нацело? В нашем примере получилось деление с остатком:

Но бывает и так, что многочлены делятся нацело.

Пример 2. Выполнить деление:

Решение

Заметим, что:

Запишем в столбик:

Проверка:

Ответ: .

Задание 4. Решить уравнение:

Решение

Ищем целые корни среди делителей свободного члена (числа 3). На эту роль подходят числа . Проверяем их: если число является корнем уравнения, то при подстановке вместо переменной оно обращает уравнение в верное равенство.

При :

Равенство неверное.

При :

Равенство верное, значит, является корнем уравнения. Тогда многочлен третьей степени можно разложить на множители:

Разделим в столбик:

Получаем:

Тогда исходное уравнение примет вид:

Тогда:

Решая квадратное уравнение, получаем:

Итого, получаем всего различных корня: и .

Ответ: ; .

Аналогичным образом можно решать не только кубические уравнения, но и уравнения высших степеней. Если удастся подобрать один корень, то после деления в столбик можно понизить степень уравнения на 1. Так, как мы свели кубическое уравнение к квадратному.