Пример 1
Пример 1. (х+2)∙(х+4)∙(х-1) > 0.
Решим неравенство методом интервалов.
1. Левая часть неравенства – это произведение трех множителей. Найдем, при каких значениях переменной х каждый из множителей равен 0, т. е. найдем корни.
Найденные значения: -4, -2, 1, поставим на числовую ось (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
2. Рассмотрим первый интервал
. Определим знак каждого из множителей на этом интервале. Для этого достаточно подставить любое значение переменной х из этого интервала. Например, -5. Все три множителя будут отрицательными. Значит, и все произведение будет меньше 0. Аналогично рассмотрим остальные интервалы и расставим знаки.
3. Выберем интервалы, соответствующие условию неравенства. Итак, решение неравенства.
. Неравенство строгое, поэтому значения -4, -2 и 1 не включены в решение.
Построим эскиз графика функции y = (х+2)∙(х+4)∙(х-1), используя полученные при решении неравенства результаты:
1. Область определения – любое действительное число.
2. Корни функции – -4, -2 и 1.
3. При решении неравенства мы нашли промежутки знакопостоянства функции.
4. Исследуем поведение функции в окрестности каждого корня.
Слева от точки -4 функция отрицательна, а справа положительна. Значит, график пойдет снизу вверх. Слева от точки -2 функция положительна, а справа отрицательна – график пойдет сверху вниз (рис. 2).
Рис. 2. График функции
Функция непрерывна, значит, ее график изогнется и образует своеобразный горбик. Рассуждая аналогичным образом, придем к выводу, что на интервале от -2 до 1 график функции тоже изогнется и образует «впадину».
При неограниченном увеличении значения переменной х значение переменной Y тоже неограниченно увеличивается. При неограниченном уменьшении х, у тоже неограниченно уменьшается. Значит,
при 
график функции идет вверх,
при 
график функции идет вниз.
Пример 2
Пример 2. 
Решим неравенство методом интервалов.
1. Левая часть неравенства – это дробь. Разложим ее числитель и знаменатель на множители. Найдем, при каких значениях переменной х числитель и знаменатель дроби равны 0.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Найденные значения – 
– поставим на числовую ось (рис. 3).
2. Рассмотрим первый интервал
. Определим знак каждого из множителей на этом интервале. Для этого достаточно подставить любое значение переменной х из этого интервала. Например, -5. Все четыре множителя будут отрицательными. Значит, и вся дробь будет больше 0. Аналогично рассмотрим остальные интервалы и расставим знаки.
3. Выберем интервалы, соответствующие условию неравенства. Итак, решение неравенства.
или 
. Неравенство нестрогое, поэтому значения -2, 2 включены в решение. При х = -3, и при х = 3 знаменатель дроби равен 0, поэтому эти значения не включены в решение.
Построим эскиз графика функции 
1. Область определения: переменная х может принимать любые значения кроме 
.
2. -2; 2 – корни функции.
3. При решении неравенства мы нашли промежутки знакопостоянства функции.
4. Исследуем поведение функции в окрестности каждого корня.
Слева от точки -2 функция отрицательна, а справа положительна. Слева от точки 2 функция положительна, а справа отрицательна. Функция непрерывна, значит, ее график изогнется и образует «горбик» (рис. 4).
5. Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, т. е. в окрестности точки -3 и в окрестности точки 3.
Рис. 4. График функции
При 
справа, (х+3) стремится к 0, а вся дробь стремится к 
. При слева, (х+3) стремится к 0, а вся дробь стремится к 
. Изобразим это на графике. Итак, в окрестности точки -3 график функции как бы «выскочит» из 
.
Рассуждая аналогично, получим:
При 
(х-3) стремится к 0, а вся же дробь стремится к 
. Слева от точки 3 к , справа к .
6. Исследуем поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Решая неравенство, мы узнали, что при 
функция принимает только положительные значения. Продолжим рассуждения. При постоянными слагаемыми можно пренебречь, т. е. 
Значит, график функции не уйдет вверх, а будет прижиматься к прямой y= 1.
Список литературы
- А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.
- А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.
- Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.
- Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.
- Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.
- Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.
Домашнее задание
- Построить эскизы графиков соответствующие неравенству функций № 2.8, № 2.9.
- Другие задания: построить эскизы графиков, соответствующие неравенству функций № 2.18, № 2.20.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
