Рациональные неравенства и системы. Метод интервалов

Алгебра. 9 класс

Тема урока: Рациональные неравенства и системы.

Рациональные неравенства, метод интервалов

Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ

03.02.2010 г.

Рациональные неравенства.

Рациональные неравенства с одной переменной – это неравенства вида , где  и  – рациональные выражения. Что такое рациональное выражения? Это такие алгебраические выражения, которые составлены из чисел, переменной x с помощью операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень.

Если это рациональное выражение, то мы имеем рациональное неравенство. Если мы всё перенесём в одну сторону, . Всё это выражение можно обозначить за . Таким образом, мы будем иметь дело с рациональным неравенством вот такого вида, где  – рациональное выражение.

Что такое решить неравенство? Это значит найти все его решения. Чем неравенство отличается от уравнения? Если я решаю уравнение, то я получаю одно, два, три – какое-то количество решений. Каждое из решений я могу подставить и проверить: правильно ли я нашёл решение или неправильно. Т.е. методом подстановки, как правило, я могу проверить решение уравнений. А при решении неравенств? При решении неравенств, скажем, . На отрезке 0,1 бесчисленное множество точек. Ну и что, я все могу проверить? Нет, конечно. Бесчисленное множество решений я проверить не могу. Так какой же выход? Я же решаю-решаю неравенство и должен в конце концов получить ответ. Вдруг из этого моря решений выпала какая-то капля. Где я ее найду? Более того, даже если какая-то капля лишняя добавилась, то я никак не могу ее отсечь. Если в уравнение посторонний корень добавился, то я с помощью проверки могу его отсечь. А здесь бесчисленное множество решений, которые я перебрать не смогу. Поэтому неравенства решаются только эквивалентными преобразованиями, равносильными, т.е. те, которые не искажают множество решений. Т.е. множество решений надо брать от исходного неравенства, через промежуточные довести до ответа, чтобы ни одна капля не стала лишней.

Одним из мощных методов решений неравенств является метод интервалов. Но начнем издалека. Вот простейшее неравенство: . Одна функция рациональная, простейшая, вторая функция – вообще число. Вот я сейчас решу неравенство. Задача каждого – указать, где я допустил ошибку. Я заранее говорю, что будет ошибка, хорошо бы, чтобы каждый понял, где я допустил ошибку, и в дальнейшем никогда такой ошибки не допускал.

Итак, моё «решение». Областью определения, недопустимым, является только . Решение будем искать в числах, не равных нулю. Если , то части уравнения я умножаю на  и получаю – . Сокращаем. . Пишу ответ: .

Итак, я произнёс решение. А почему же оно неверное? Во-первых, оно неверное хотя бы потому, что исходное неравенство, , не входит сюда. При  я получаю . (рисунок) Значит, это входит в множество решений. А я его проглядел, тут его нет. Может быть, это одно? Хорошо, давайте посмотрим. . При  выясняется, . Это тоже входит в число решений.

Оказывается, я пропустил -2, и -3 и т.д. Оказывается, я решил неправильно. Я пропустил бесчисленное множество решений. Какой же математический закон я нарушил? Чтобы его рассмотреть, напишем . Вспомним свойства числовых неравенств. Важное их свойство таково. . Могу я умножить их части на 2? Могу. , и неравенство сохраняется. Свойство числовых неравенств (мы говорили): обе части неравенства можно умножить на положительное число и при этом знак неравенства не изменять.

А можно ли обе части неравенства умножить на отрицательное число, на ? Умножим. Что получим? . Но что чего больше? (рисунок) Вот у меня , а вот .  Такое неравенство будет неверным: . Такое неравенство будет верным: .

Итак, если умножаю обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Вот здесь было хорошо – у меня было конкретное число. . А что я осмелился делать? Я обе части неравенства умножил на . Но может быть отрицательным числом, и тогда знак надо изменить на противоположный. А я этого не сделал. Можно умножить на положительное число, и тогда знак можно будет оставить без изменений.

Итак, решение неравенства было неверное. А теперь давайте решим его верно. Решим это и другие неравенства. Сначала решим неравенство более сложное.

Решить неравенство. . Итак, найти все решения данного неравенства.

Комментарии. Конечно, в жизни дадут не такое неравенство, а заставят разложить на множители. Ну, например, если мы перемножим вот эти выражения, то получим  в числителе. Квадратный трёхчлен, если мы найдём корни, разложим на множители, то получим числитель. В знаменателе тоже не пожалеют и напишут , Вот типовое задание, да ещё здесь стоит 0, а на самом деле может стоять 1, как в предыдущем примере. Т.е. мы всё перенесли в левую часть, сделали простейшие вычисления, разложили на множители и получили неравенство в таком виде. Здесь у нас всё сделано, и нам сказали – решить неравенство. В это неравенство входит 4 множителя.

Можно рассмотреть функцию, которая стоит в левой части. . Это функция из левой части, я её просто переписал. Свойства этой функции, или свойства множителей. Если перемножаются множители одного знака, значит, знак будет плюс, если множители разного знака, то тоже, я могу проследить. Итак, вот есть функция. Если я приравняю функцию к 0, , я найду корни этой функции, т.е. если числитель приравняю к 0, то . Что это за числа? Это числа, при которых функция равна 0. Я приравнял числитель к нулю и получил вот эти значения. Но перед этим я должен был найти так называемую область определения функции, при каких  функция существует. Она существует всегда, когда знаменатель не равен 0.

Знаменатель равен 0, когда , значит, 3 надо выколоть. И когда , т.е. 4 тоже надо выколоть. Итак, 3 не может быть решением неравенства, потому что дробь не существует, когда . На 0 делить нельзя, то же относится и к 4. Итак, 3 и 4 надо выколоть. Среди всех остальных значений аргумента, при всех остальных значениях  могут попасться те, которые удовлетворяют неравенству. Так вот, нам нужно найти все эти значения.

Итак, можно считать, что первое действие – мы ввели функцию, нашли её область определения, когда она определена при всех , которые не равны 3 и 4, и нашли её корни или нули функции, т.е. те значения , при которых функция равна 0. Можно словом «функция» не пользоваться, а можно пользоваться тем, что мы имеем. Мы имеем 4 сомножителя и рассматриваем знаки каждого сомножителя.

После этих действий мы наносим найденные точки на ось Х и выделяем, так называемые интервалы знакопостоянства выражения. Или интервалы знакопостоянства функции.

Они определяются точками 1, 2, 3, которая должна быть выколота, и 4, которая тоже должна быть выколота. (рисунок)   Вот эти интервалы.

Чем они хороши? Они хороши тем, что каждый из множителей внутри каждого интервала сохраняет знак. А поэтому запишем таблицу знаков. (Рисунок.)

Ось Х. Все значения первого интервала от  до 1. Второй интервал: от 1 до 2. И на этом интервале ни один из множителей не меняет знак. Следующий интервал от 2 до 3. Следующий от 3 до 4. И наконец, от 4 до +.

Итак, я перебрал множество тех x, которые можно подставить вот в эту функцию, или, что важнее, вот в это выражение. Можно подставить и получить какое-то число. Нельзя подставить только 3 и 4. Правда, я здесь 1 отдельно не выписал.

Здесь переберу все сомножители, которые есть: (x-1), второй – (x-2) и (x-3) и четвертый (x-4).

(рисунок)

А здесь я расставлю знак самой функции. То есть произведение и частное всей функции.

Итак, на промежутки до 1 первый сомножитель, возьмем любое число, например, -100 подставим, он отрицателен. Во второй сомножитель подставлю – он тоже будет отрицателен. То есть каждый из сомножителей на первом интервале имеет отрицательный знак. А их произведение? Их четыре, поэтому дробь или функция будет иметь положительное значение. Вот это-то нам и надо. При каждом значении из интервала знаки каждого множителя сохраняются, знак всей дроби, всей функции сохраняется, в данном случае он положителен. Нужен ли он нам? Нет, он нам не нужен. Нам нужен отрицательный, либо 0.

Но 1 подойдет нам, потому что функция при x=1 равна 0, а 0 для нас допускается.

Итак, чем мы сейчас занимаемся?

Мы проверяем знак каждого сомножителя и знак всей функции на каждом интервале.

Теперь мы это сделаем по-другому. Вот посмотрим: (x-1) – этот множитель может изменить знак только при значении 1. Значит, до 1 он был равен отрицательному числу. А после 1, например, когда x=1,9. Выражение все равно будет положительным. Значит, на всех остальных интервалах этот множитель будет положительным.

Второй сомножитель может изменить знак только в значении 2. До 2 число, стоящее в скобках, будет отрицательным. А после 2, например, когда x=3,4,5,10 – число будет положительным.

Значит, после 2 множитель будет положителен.

Аналогично третий сомножитель (x-3). Водораздел это 3. До 3 будет один знак, мы уже знаем какой, а после 3 знак другой.

И наконец, четвертый множитель, (x-4). Он обращается в 0 в 4. Значит, 4 – водораздел. До 4 он отрицателен, а после 4 он положителен.

Итак, мы видим, что для каждого сомножителя определить знак на каждом интервале трудности не представляет. Каждый такой сомножитель линейный. Он только в одном месте изменяет знак. Вот первый сомножитель (x-1) – до 1 один знак, после 1 – другой. Последний сомножитель (x-4) – он может изменить знак и меняет знак только при переходе аргумента через x=4. До 4 этот сомножитель имеет один знак, а после 4 имеет другой знак. Итак, знак каждого сомножителя табличка нам дает. Его легко определить. Сколько бы сомножителей не было, мы легко определяем знаки каждого сомножителя в выделенных интервалах. На интервалах, где всё выражение сохраняет свой знак.

Каждый из сомножителей может менять знак только в означенных точках, когда аргумент проходит через означенные точки, и всё это выражение или, говоря другими словами, вся функция может изменить знак только при переходе аргумента через эти значения. На интервалах сохранения знака.

Этот метод называется метод интервалов. Вот смотрите, какой метод мощный: я определил, что в точке -3 первый сомножитель будет отрицательным. Что он будет отрицательным и в -10, и -100, и в бесчисленном множестве значений. Значит, вся функция тоже, если она имеет какой-либо знак внутри какого-либо интервала, сохраняет знак на этом интервале.

Давайте определим знак функции на каждом интервале. Здесь произведение – раз, два, три, четыре (рисунок), дает нам плюс, здесь – в минусе, здесь раз и два минуса – общее значение плюс. Минус один – даст нам минус. И здесь все плюсы – плюс. Чего мы добились? Мы знаем, что вся функция, что все это выражение, вернее, вся эта дробь на этом интервале положительная (рисунок), на втором интервале – отрицательная, на третьем – отрицательная, и на четвертом – положительная.

Ещё раз восхитимся простыми, но далеко идущими выводами. Вот огромный интервал, от 4 до +. В нем присутствует точка 10. 10 подставлю в выражение – будет плюс, плюс, плюс, плюс. Значит, при 10 эта функция или это выражение будет положительным, на бесчисленном множестве точек этого интервала функция тоже положительная.

А вопрос такой: вот функция положительна, а я соберусь её график построить. График будет над осью OX или под осью OX? В этой точке функция положительная, значит, график будет расположен над осью OX. А на интервале от 3 до 4? А здесь – под осью OX. На интервале от 2 до 3 снова над осью OX и так далее.

Но о графиках особый разговор. Теперь пора пожинать урожай. Мы выделили интервалы знакопостоянства и определили знаки на каждом интервале, причем знаки всего выражения, всей дроби или всей функции. Теперь вспоминаем, что нам нужны те x, при которых все выражение будет меньше или равно нулю, что функция должна быть отрицательной или равной нулю. Заштрихуем (рисунок) первый раз, чтобы увидеть это значение, все вот эти x мне подходят, они являются решением неравенства. Но не только они. От 2 до 3 тоже подходит. Точка 1 и 2, значение функции в точке 1 и точке 2 равно нулю, а 0 допускается.

А теперь мы готовы выписать ответ. Ответ можно выписать либо в форме неравенства, либо в форме интервалов. Мы выпишем в форме интервалов.  x∈[1;2] и (3;4).

Итак, мы рассматривали неравенство, самое простое. К нему сводится, например, вот такое неравенство:

И рассмотрели метод интервалов для решения этого неравенства. Приравняли мы числитель, знаменатель к нулю и выкинули те точки, в которых дробь не существует и в которых функция не существует. Приравняли числитель к нулю и нашли те точки, в которых дробь равна нулю и числитель равен нулю, то есть мы приравняли к нулю каждый сомножитель и числителя и знаменателя. И вот эти точки образуют интервалы знакопостоянства. На этих интервалах все множители сохраняют знак. И функция, и всё выражение в целом сохраняет знак.

Теперь осталось выяснить знак на каждом интервале. Это можно сделать с помощью таблицы, как мы делали в первый раз. Сначала я определяю знаки каждого множителя (это очень легко сделать), а потом я определяю знак каждой функции. Можно этого не делать, можно прямо в выражение подставить точку 10 в исходное выражение и узнать знак. И так далее.

После того как знаки определены, я определяю граничные точки и выписываю ответ. Штриховать мне найденное решение или не штриховать, это решайте сами. Итак, ответ найден.

Одна из сопутствующих задач. Найдите число натуральных решений данного неравенства. Это число 1, это число 2. Ответ – 2.