Простейшие уравнения с параметрами
Когда один футболист хочет отдать другому «пас на ход», он должен решить уравнение: с какой силой и под каким углом нужно отдать пас, чтобы другой футболист успел к мячу.
Рассмотрим упрощенную модель: футболист 
отдает мяч по прямой, а футболист 
бежит по заданной прямой 
с заданной постоянной скоростью. При этом скорость и направление паса футболист может менять (см. рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к рассматриваемой задаче
Можем перевести эту задачу на математический язык: при каких начальных параметрах паса (скорости и угла) расстояние 
мяч пройдет за то же время, что и футболист пробежит расстояние 
? Тогда:
Но – гипотенуза прямоугольного треугольника 
, – катет, поэтому они связаны соотношением:
Получаем:
Откуда:
Мы нашли скорость паса при заданном угле. Можем найти угол при заданной скорости паса:
Это примеры простейших уравнений с параметром. В первом случае параметром выступает угол, а скорость – это неизвестная. Во втором – наоборот.
Можно рассмотреть похожую задачу с противоположной целью: капитаны судов должны решать вопрос, какими должны быть скорости и направление движения, чтобы корабли не столкнулись.
Линейные уравнения с параметрами
Сегодня на уроке мы поговорим о технике решения уравнений и неравенств с параметром.
Принципиально новых алгоритмов и методов не появится – мы будем использовать уже полученные нами навыки. Но при этом взглянем на решение уравнений и неравенств чуть шире и сделаем акцент на некоторых нюансах. Начнем с решения самых простых – линейных уравнений.
Вспомним, что любое линейное уравнение можно привести к виду 
, где 
и 
– некоторые числа.
Это общий вид, и он нам удобен, поскольку описывает целый класс уравнений. Так вот, эти числа, и , еще называют параметрами. Соответственно, уравнение – это линейное уравнение с двумя параметрами: и .
Смотрите: ничего нового, это все то же уравнение, алгоритм решения которого мы уже все знаем. Но есть нюансы. Решить уравнение с параметром – значит найти его корни при всевозможных значениях параметров. Мы знаем, что при 
корнем уравнения будет:
Но нужны решения при всех значениях параметров. Что же будет при 
? Если , наше уравнение примет вид
или просто 
. Какие решения имеет это уравнение?
Если 
, то получим правильное равенство. Значит, решением будут все действительные числа.
Если же 
, то равенство будет неверным. В таком случае уравнение не имеет решений.
Запишем ответ:
- Если , то:
. - Если и , то
(все действительные числа). - Если и , то
(пустое множество, нет решений).
Проанализируем решение. Мы действовали по известному нам алгоритму решений линейных уравнений.
Шаг 1. Перенести все слагаемые с неизвестной величиной 
в одну сторону, остальные – в другую.
Шаг 2. Привести подобные слагаемые.
Шаг 3. Разделить на коэффициент при 
.
Правда, первые два шага у нас уже были выполнены. При этом мы отдельно рассмотрели значение
. Почему? Потому что при мы не можем совершить шаг 3: деление на ноль не определено.
Этот принцип можно применить для решения любых уравнений и неравенств с параметром: мы действуем по стандартному алгоритму для данного типа математической модели, но на каждом шаге проверяем, не возникает ли недопустимых действий или других особенностей. С алгоритмами мы уже знакомы, так что посмотрим, какие могут возникать «особенности».
Задание 1. Решить уравнение при всех значениях параметра 
:
Решение
Это линейное уравнение, поскольку неизвестная стоит в первой степени. Действуем по алгоритму решения линейного уравнения.
Шаг 1. Перенести слагаемые с неизвестной в одну сторону, остальные – в другую:
Шаг 2. Привести подобные слагаемые. Для этого вынесем за скобку:
Шаг 3. Нужно разделить на коэффициент при . Но выражение 
может равняться 0, тогда мы не сможем выполнить деление. Поэтому нужно отдельно рассмотреть этот случай:
Решим это квадратное уравнение, чтобы определить значения параметра:
Тогда:
Итак, при 
и 
мы не можем выполнить 3 шаг нашего алгоритма. Подставим эти значения в уравнение и посмотрим, какой вид оно примет:
при :
Уравнение не имеет решений.
при :
Решение – все действительные числа.
Если же 
, то мы можем выполнить деление в уравнении:
Или после упрощения:
Ответ: при : ; при : ; при 
и 
: 
.
Линейные неравенства с параметрами
Теперь перейдем к линейным неравенствам с параметром. Алгоритм их решения практически такой же, как и у уравнений. Только возникает еще одна особенность на последнем шаге: знак неравенства меняется на противоположный, если делим обе части неравенства на отрицательное выражение.
Задание 2. Решить неравенство при всех значениях параметра .
Решение
Шаг 1. Здесь уже выполнен.
Шаг 2. Выносим за скобки :
Шаг 3. Обе части неравенства нужно разделить на 
. Но, во-первых, это выражение может быть равно 
, тогда результат деления будет не определен. Во-вторых, мы не знаем знак этого выражения. Соответственно, не знаем, изменится ли знак неравенства. Поэтому рассмотрим отдельные случаи.
1. Первый случай:
Решая это уравнение для параметра
, получаем:
Рассмотрим его отдельно, подставив в неравенство:
Неравенство верное, значит, решение – все действительные числа.
2. Второй случай:
Решая неравенство, получим:
При этих значениях мы делим на положительное выражение:
Знак неравенства не изменяется:
3) Третий случай:
Решая неравенство, получим:
В этом случае делим на отрицательное число, знак меняется на противоположный:
Ответ: при , 
; при , 
; при , 
.
С решением еще одного линейного неравенства с параметром вы можете ознакомиться ниже.
Решение неравенства с параметром
Задание. Решить неравенство при всех значениях параметра :
Мы уже решали аналогичное уравнение. После выполнения первых двух шагов алгоритма получаем:
Как и в решении предыдущего линейного неравенства, рассматриваем 3 случая:
- – при этом мы не можем выполнить деление, эти значения нужно рассмотреть отдельно.
-
– в этом случае знак неравенства не изменится при делении. -
– в этом случае знак неравенства изменится на противоположный.
Для каждого случая нам нужно найти значения , при которых выражение больше, меньше или равно нулю. Это удобно сделать сразу:
1. Решения уравнения мы уже знаем: или .
2 и 3. При решении неравенств для параметра можем использовать метод интервалов. Корни соответствующего уравнения: или . Осталось расставить их на оси и определить знаки на интервалах (см. рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к заданию
То есть при 
; при 
.
Со значениями параметра определились, переходим к решению исходного неравенства для .
1. Отдельно рассматриваем случаи и . При :
Неравенство верное, решение – любое действительное число. При :
Неравенство неверное, решений нет.
2. При 
знак неравенства не изменится при делении на :
3. При знак неравенства изменится на противоположный:
Ответ: при : ; при : ; при : 
; : 
.
Квадратные уравнения с параметрами
Теперь перейдем к решению квадратных уравнений с параметром. Мы изучали несколько способов решения квадратных уравнений, но для уравнений с параметром нам понадобится четкий алгоритм – решение с помощью дискриминанта.
Выделим особенности, которые могут возникнуть в ходе решения уравнения вида 
. Во-первых, они могут возникнуть уже на этапе определения типа уравнения. Если , то полученное уравнение будет уже не квадратным, а линейным.
Вторая особенность связана с дискриминантом. Помним, что в зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение имеет два или одно решение или вообще не имеет решений в действительных числах.
Итак, мы указали особенности, знаем общий алгоритм решения квадратных уравнений. Перейдем к практике.
Задание 3. Решить уравнение для всех значений параметра :
Решение
Коэффициент при 
равен 
, это точно квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант:
Видим, что дискриминант зависит от параметра и его знак мы не можем однозначно определить. Рассматриваем отдельно возможные варианты:
- Если
, то уравнение имеет два действительных корня. - Если
– один действительный корень. - Если
, то уравнение не имеет действительных корней.
Найдем значения параметра, при которых выполняется каждое из этих условий:
1.
2.
3.
Итак, при уравнение имеет два корня. Находим их по известной формуле:
Упростив выражение:
При
уравнение имеет один корень:
При уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: при , 
; при, 
; при , .
Задание 4. Решить уравнение для всех значений параметра :
Решение
Обратим внимание на коэффициент при . Он может быть равен нулю, и в этом случае уравнение будет не квадратным, а линейным. Эту ситуацию рассматриваем отдельно:
При получим линейное уравнение:
Если же 
, то уравнение будет квадратным. Вычисляем дискриминант:
Оцениваем знак дискриминанта. Можно, как и в предыдущем примере, решать уравнения и неравенства:
А можно сразу отметить, что 
всегда неотрицательная величина. Т. е. 
только при ; в остальных случаях это положительная величина.
Получаем, что при уравнение имеет один корень:
В остальных случаях имеем два корня:
Рассмотрев корни по отдельности, выражение можем еще упростить:
Ответ: при , ; при , ; при и , 
, 
.
Оценка значений корней уравнения
Мы с вами разобрали основные задания с параметрами: решение линейных уравнений и неравенств, а также квадратных уравнений. Параметры могут встретиться и в более сложных типах уравнений и неравенств, а также их системах.
Но принцип их решения будет абсолютно такой же – действуем по известному алгоритму, на каждом шаге обращаем внимание на особенности: возможное деление на ноль, смену знака неравенства, извлечение корней, раскрытие модуля и пр.
Иногда для поставленной задачи нам не нужно находить общее решение уравнения, а нужно всего лишь узнать какую-то информацию о его корнях. Например, узнать количество корней уравнения или их расположение относительно некоторого фиксированного числа. В таком случае, конечно, можно найти общее решение и дать ответ на вопрос, но обычно это более сложный и долгий путь. Далее в уроке мы разберем, как можно узнать информацию о корнях уравнения намного быстрее и проще.
Задание 5. Найти все значения параметра , при которых корнем уравнения 
является число 
.
Решение
Здесь нужно вспомнить лишь один факт: корнем уравнения называется число, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство. Т. е. просто берем и подставляем вместо число . Должны получить правильное равенство:
Осталось найти значения параметра , при которых это равенство будет верным. По сути – решить уравнение относительно :
Вынесем число за скобку:
Свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности:
Откуда:
Ответ: .
Оценка расположения корней уравнения
Теперь разберем задачи, где нужно оценить расположение корней уравнения. Начнем с линейных уравнений в общем виде. Пусть для линейного уравнения нужно найти такие значения параметров, при которых корень уравнения будет больше некоторого значения 
. Конечно, можно найти полное решение уравнения с параметром, чтобы ответить на этот вопрос. Но можно сделать и по-другому.
Преобразуем уравнение к виду:
Тогда корень уравнения – это нуль функции 
. В зависимости от знака возможны 
варианта расположения графика, при которых нуль функции будет больше (см. рис. 3).
Рис. 3. Два возможных варианта расположения графика
Обратите внимание: при 
значение функции в точке будет отрицательным: 
, при 
– положительным: 
. Это можно записать одним неравенством: 
.
Итак, мы получили условие, при котором корень уравнения больше :
Аналогичным образом можно получить условие, при котором корень уравнения будет меньше :
Используя эти готовые результаты, можно быстро решать задачи следующего вида.
Задание 6. При каких значениях параметра 
корень уравнения 
больше ?
Решение
Перенесем все слагаемые в левую часть:
Видим, что коэффициент при равен 
. Значение соответствующей функции в точке :
Корень уравнения будет больше при условии:
При решении методом интервалов (см. рис. 4) получим ответ:
Рис. 4. Иллюстрация к заданию 6
Можно решить это задание и проверенным способом. Рассмотреть отдельно случай при 
:
Неверное равенство, корней у уравнения нет.
Если 
, то корнем уравнения будет:
Осталось решить неравенство:
Получаем неравенство:
Решая его методом интервалов, получим тот же промежуток:
Этот способ более универсальный: для его использования не надо практически ничего запоминать.
Ответ: 
.
Используя аналогичный подход, можно оценить и расположение корней квадратного уравнения. Рассмотрим условие, при котором один из корней квадратного уравнения больше некоторого значения , а другой – меньше.
Снова обратимся к графику. Решение уравнение – это нули функции 
. Возможны лишь варианта, при которых нули будут располагаться по разные стороны от числа (см. рис. 5).
Рис. 5. Два варианта расположения графика
Снова обращаем внимание: при
, , при , . То есть:
Рассматривая расположения параболы, которые уже не будут удовлетворять условию задачи, можно убедиться, что 
в каждом из случаев будет больше или равно .
Итак, мы получили вывод: корни уравнения лежат по разные стороны от числа тогда и только тогда, когда .
Задание 7. Найти значения параметра 
, при которых один из корней уравнения 
больше , другой – меньше.
Решение
Рассмотрим отдельно случай 
(уравнение не будет квадратным):
Корней нет, не удовлетворяет условию.
При 
получаем: коэффициент при равен . Значение соответствующей функции в точке :
Получаем неравенство:
Решая его методом интервалов (см. рис. 6), получаем ответ:
Рис. 6. Иллюстрация к заданию 7
Ответ: 
.
О других вариантах расположения корней вы можете узнать из ответвления.
Когда корни квадратного уравнения больше или меньше некоторого числа
Рассматривая различные положения параболы , можно убедиться, что соотношение выполняется тогда и только тогда, когда нули функции лежат по разные стороны от числа t. В остальных случаях будет выполняться неравенство:
Посмотрим, какие это могут быть случаи:
1. Функция не имеет нулей (см. рис. 7).
Рис. 7. Функция не имеет нулей
2. Нули функции больше числа (см. рис. 8).
Рис. 8. Нули функции больше числа t
3. Нули функции меньше числа (см. рис. 9).
Рис. 9. Нули функции меньше числа t
Отличить эти случаи легко: в первом случае дискриминант отрицательный, во втором и третьем – положительный. При этом если нули больше , то вершина параболы будет правее по оси , чем ; если меньше – левее. Получаем следующие условия для расположения корней.
Оба корня квадратного уравнения больше числа тогда и только тогда, когда выполнены неравенства:
Оба корня квадратного уравнения меньше числа тогда и только тогда, когда выполнены неравенства:
Оценка количества корней уравнения
Иногда в задачах могут возникнуть ситуации, когда нам не обязательно знать значения корней, а нужно найти лишь их количество. В таком случае нам поможет графический метод решения.
Задание 8. Найти количество решений системы уравнений для всех положительных значений параметра :
Решение
Построим графики уравнений. График второго мы можем построить однозначно – это прямая, параллельная оси y. График первого уравнения – это окружность с центром в начале координат и радиусом (см. рис. 10).
Рис. 10. Иллюстрация к заданию 8
Тогда:
- При
окружность не будет пересекать прямую – система не будет иметь решений. - При
окружность будет касаться прямой – система будет иметь одно решение. - При
окружность будет пересекать прямую и получим решения.
Ответ: при : нет решений; при : одно решение; при : два решения.
Задание 9. При каких значениях параметра система уравнений имеет ровно решение:
Решение
График первого уравнения – окружность с центром в начале координат и радиусом (см. рис. 11).
Рис. 11. Иллюстрация к заданию 9
Чтобы построить график второго уравнения, свернем по формуле полный квадрат:
Это окружность с центром в точке 
и радиусом (см. рис. 12).
Рис. 12. Иллюстрация к заданию 9
Чтобы система имела решение, окружности должны касаться. С учетом того, что центр второй окружности лежит на оси , получаем 
возможных варианта (см. рис. 13).
Рис. 13. Иллюстрация к заданию 9
Координаты центра окружности в каждом из случаев:
Ответ: 
.
Список литературы
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
- Интернет-портал solverbook.com (Источник)
- Интернет-портал «открытыйурок.рф» (Источник)
Домашнее задание
- При каких значениях параметра неравенство
выполняется при всех действительных значениях ? - Сколько решений имеет система уравнений
в зависимости от значения параметра ? - При каких значениях параметра корни уравнения
отрицательны?
