Теперь перейдем к линейным неравенствам с параметром. Алгоритм их решения практически такой же, как и у уравнений. Только возникает еще одна особенность на последнем шаге: знак неравенства меняется на противоположный, если делим обе части неравенства на отрицательное выражение.

Задание 2. Решить неравенство при всех значениях параметра .

Решение

Шаг 1. Здесь уже выполнен.

Шаг 2. Выносим за скобки :

Шаг 3. Обе части неравенства нужно разделить на . Но, во-первых, это выражение может быть равно , тогда результат деления будет не определен. Во-вторых, мы не знаем знак этого выражения. Соответственно, не знаем, изменится ли знак неравенства. Поэтому рассмотрим отдельные случаи.

1. Первый случай:

Решая это уравнение для параметра, получаем:

Рассмотрим его отдельно, подставив в неравенство:

Неравенство верное, значит, решение – все действительные числа.

2. Второй случай:

Решая неравенство, получим:

При этих значениях мы делим на положительное выражение:

Знак неравенства не изменяется:

3) Третий случай:

Решая неравенство, получим:

В этом случае делим на отрицательное число, знак меняется на противоположный:

Ответ: при , ; при , ; при , .

С решением еще одного линейного неравенства с параметром вы можете ознакомиться ниже.

Решение неравенства с параметром

Задание. Решить неравенство при всех значениях параметра :

Мы уже решали аналогичное уравнение. После выполнения первых двух шагов алгоритма получаем:

Как и в решении предыдущего линейного неравенства, рассматриваем 3 случая:

– при этом мы не можем выполнить деление, эти значения нужно рассмотреть отдельно.
– в этом случае знак неравенства не изменится при делении.
– в этом случае знак неравенства изменится на противоположный.

Для каждого случая нам нужно найти значения , при которых выражение больше, меньше или равно нулю. Это удобно сделать сразу:

1. Решения уравнения мы уже знаем: или .

2 и 3. При решении неравенств для параметра можем использовать метод интервалов. Корни соответствующего уравнения: или . Осталось расставить их на оси и определить знаки на интервалах (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

То есть при ; при .

Со значениями параметра определились, переходим к решению исходного неравенства для .

1. Отдельно рассматриваем случаи и . При :

Неравенство верное, решение – любое действительное число. При :

Неравенство неверное, решений нет.

2. При знак неравенства не изменится при делении на :

3. При знак неравенства изменится на противоположный:

Ответ: при : ; при : ; при : ; : .