Решение уравнений с параметром

Простейшие уравнения с параметрами

Когда один футболист хочет отдать другому «пас на ход», он должен решить уравнение: с какой силой и под каким углом нужно отдать пас, чтобы другой футболист успел к мячу.

Рассмотрим упрощенную модель: футболист  отдает мяч по прямой, а футболист  бежит по заданной прямой  с заданной постоянной скоростью. При этом скорость и направление паса футболист  может менять (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к рассматриваемой задаче

Можем перевести эту задачу на математический язык: при каких начальных параметрах паса (скорости и угла) расстояние  мяч пройдет за то же время, что и футболист пробежит расстояние ? Тогда:

Но  – гипотенуза прямоугольного треугольника ,  – катет, поэтому они связаны соотношением:

Получаем:

Откуда:

Мы нашли скорость паса при заданном угле. Можем найти угол при заданной скорости паса:

Это примеры простейших уравнений с параметром. В первом случае параметром выступает угол, а скорость – это неизвестная. Во втором – наоборот.

Можно рассмотреть похожую задачу с противоположной целью: капитаны судов должны решать вопрос, какими должны быть скорости и направление движения, чтобы корабли не столкнулись.

Линейные уравнения с параметрами

Сегодня на уроке мы поговорим о технике решения уравнений и неравенств с параметром.

Принципиально новых алгоритмов и методов не появится – мы будем использовать уже полученные нами навыки. Но при этом взглянем на решение уравнений и неравенств чуть шире и сделаем акцент на некоторых нюансах. Начнем с решения самых простых – линейных уравнений.

Вспомним, что любое линейное уравнение можно привести к виду , где  и  – некоторые числа.

Это общий вид, и он нам удобен, поскольку описывает целый класс уравнений. Так вот, эти числа,  и , еще называют параметрами. Соответственно, уравнение  – это линейное уравнение с двумя параметрами:  и .

Смотрите: ничего нового, это все то же уравнение, алгоритм решения которого мы уже все знаем. Но есть нюансы. Решить уравнение с параметром – значит найти его корни при всевозможных значениях параметров. Мы знаем, что при  корнем уравнения будет:

Но нужны решения при всех значениях параметров. Что же будет при ? Если , наше уравнение примет вид или просто . Какие решения имеет это уравнение?

Если , то получим правильное равенство. Значит, решением будут все действительные числа.

Если же , то равенство будет неверным. В таком случае уравнение не имеет решений.

Запишем ответ:

1. Если , то: .
2. Если  и , то  (все действительные числа).
3. Если  и , то  (пустое множество, нет решений).

Проанализируем решение. Мы действовали по известному нам алгоритму решений линейных уравнений.

Шаг 1. Перенести все слагаемые с неизвестной величиной   в одну сторону, остальные – в другую.

Шаг 2. Привести подобные слагаемые.

Шаг 3. Разделить на коэффициент при .

Правда, первые два шага у нас уже были выполнены. При этом мы отдельно рассмотрели значение. Почему? Потому что при  мы не можем совершить шаг 3: деление на ноль не определено.

Этот принцип можно применить для решения любых уравнений и неравенств с параметром: мы действуем по стандартному алгоритму для данного типа математической модели, но на каждом шаге проверяем, не возникает ли недопустимых действий или других особенностей. С алгоритмами мы уже знакомы, так что посмотрим, какие могут возникать «особенности».

 

Задание 1. Решить уравнение при всех значениях параметра :

Решение

Это линейное уравнение, поскольку неизвестная  стоит в первой степени. Действуем по алгоритму решения линейного уравнения.

Шаг 1. Перенести слагаемые с неизвестной в одну сторону, остальные – в другую:

Шаг 2. Привести подобные слагаемые. Для этого вынесем  за скобку:

Шаг 3. Нужно разделить на коэффициент при . Но выражение  может равняться 0, тогда мы не сможем выполнить деление. Поэтому нужно отдельно рассмотреть этот случай:

Решим это квадратное уравнение, чтобы определить значения параметра:

Тогда:

Итак, при  и  мы не можем выполнить 3 шаг нашего алгоритма. Подставим эти значения в уравнение и посмотрим, какой вид оно примет:

при :

Уравнение не имеет решений.

при :

Решение – все действительные числа.

Если же , то мы можем выполнить деление в уравнении:

Или после упрощения:

Ответ: при : ; при : ; при  и : .

Линейные неравенства с параметрами

Теперь перейдем к линейным неравенствам с параметром. Алгоритм их решения практически такой же, как и у уравнений. Только возникает еще одна особенность на последнем шаге: знак неравенства меняется на противоположный, если делим обе части неравенства на отрицательное выражение.

 

Задание 2. Решить неравенство при всех значениях параметра .

Решение

Шаг 1. Здесь уже выполнен.

Шаг 2. Выносим за скобки :

Шаг 3. Обе части неравенства нужно разделить на . Но, во-первых, это выражение может быть равно , тогда результат деления будет не определен. Во-вторых, мы не знаем знак этого выражения. Соответственно, не знаем, изменится ли знак неравенства. Поэтому рассмотрим отдельные случаи.

1. Первый случай:

Решая это уравнение для параметра, получаем:

Рассмотрим его отдельно, подставив в неравенство:

Неравенство верное, значит, решение – все действительные числа.

2. Второй случай:

Решая неравенство, получим:

При этих значениях мы делим на положительное выражение:

Знак неравенства не изменяется:

3) Третий случай:

Решая неравенство, получим:

В этом случае делим на отрицательное число, знак меняется на противоположный:

Ответ: при , ; при , ; при , .

С решением еще одного линейного неравенства с параметром вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Решение неравенства с параметром

Задание. Решить неравенство при всех значениях параметра :

Мы уже решали аналогичное уравнение. После выполнения первых двух шагов алгоритма получаем:

Как и в решении предыдущего линейного неравенства, рассматриваем 3 случая:

1.   – при этом мы не можем выполнить деление, эти значения нужно рассмотреть отдельно.
2.   – в этом случае знак неравенства не изменится при делении.
3.   – в этом случае знак неравенства изменится на противоположный.

Для каждого случая нам нужно найти значения , при которых выражение  больше, меньше или равно нулю. Это удобно сделать сразу:

1. Решения уравнения мы уже знаем:  или .

2 и 3. При решении неравенств для параметра  можем использовать метод интервалов. Корни соответствующего уравнения:  или . Осталось расставить их на оси и определить знаки на интервалах (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

То есть  при ;  при .

Со значениями параметра определились, переходим к решению исходного неравенства для .

1. Отдельно рассматриваем случаи  и . При :

Неравенство верное, решение – любое действительное число. При :

Неравенство неверное, решений нет.

2. При  знак неравенства не изменится при делении на :

3. При  знак неравенства изменится на противоположный:

Ответ: при : ; при : ; при : ; : .

---

 

Квадратные уравнения с параметрами

Теперь перейдем к решению квадратных уравнений с параметром. Мы изучали несколько способов решения квадратных уравнений, но для уравнений с параметром нам понадобится четкий алгоритм – решение с помощью дискриминанта.

Выделим особенности, которые могут возникнуть в ходе решения уравнения вида . Во-первых, они могут возникнуть уже на этапе определения типа уравнения. Если , то полученное уравнение будет уже не квадратным, а линейным.

Вторая особенность связана с дискриминантом. Помним, что в зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение имеет два или одно решение или вообще не имеет решений в действительных числах.

Итак, мы указали особенности, знаем общий алгоритм решения квадратных уравнений. Перейдем к практике.

 

Задание 3. Решить уравнение для всех значений параметра :

Решение

Коэффициент при  равен , это точно квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант:

Видим, что дискриминант зависит от параметра и его знак мы не можем однозначно определить. Рассматриваем отдельно возможные варианты:

1. Если , то уравнение имеет два действительных корня.
2. Если  – один действительный корень.
3. Если , то уравнение не имеет действительных корней.

Найдем значения параметра, при которых выполняется каждое из этих условий:

1.                   

2.                   

3.                 

Итак, при  уравнение имеет два корня. Находим их по известной формуле:

Упростив выражение:

При уравнение имеет один корень:

При  уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при , ; при, ; при , .

 

Задание 4. Решить уравнение для всех значений параметра :

Решение

Обратим внимание на коэффициент при . Он может быть равен нулю, и в этом случае уравнение будет не квадратным, а линейным. Эту ситуацию рассматриваем отдельно:

При получим линейное уравнение:

Если же , то уравнение будет квадратным. Вычисляем дискриминант:

Оцениваем знак дискриминанта. Можно, как и в предыдущем примере, решать уравнения и неравенства:

А можно сразу отметить, что  всегда неотрицательная величина. Т. е.  только при ; в остальных случаях это положительная величина.

Получаем, что при  уравнение имеет один корень:

В остальных случаях имеем два корня:

Рассмотрев корни по отдельности, выражение можем еще упростить:

Ответ: при , ; при , ; при  и , , .

Оценка значений корней уравнения

Мы с вами разобрали основные задания с параметрами: решение линейных уравнений и неравенств, а также квадратных уравнений. Параметры могут встретиться и в более сложных типах уравнений и неравенств, а также их системах.

Но принцип их решения будет абсолютно такой же – действуем по известному алгоритму, на каждом шаге обращаем внимание на особенности: возможное деление на ноль, смену знака неравенства, извлечение корней, раскрытие модуля и пр.

Иногда для поставленной задачи нам не нужно находить общее решение уравнения, а нужно всего лишь узнать какую-то информацию о его корнях. Например, узнать количество корней уравнения или их расположение относительно некоторого фиксированного числа. В таком случае, конечно, можно найти общее решение и дать ответ на вопрос, но обычно это более сложный и долгий путь. Далее в уроке мы разберем, как можно узнать информацию о корнях уравнения намного быстрее и проще.

 

Задание 5. Найти все значения параметра , при которых корнем уравнения  является число .

Решение

Здесь нужно вспомнить лишь один факт: корнем уравнения называется число, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство. Т. е. просто берем и подставляем вместо  число . Должны получить правильное равенство:

Осталось найти значения параметра , при которых это равенство будет верным. По сути – решить уравнение относительно :

Вынесем число  за скобку:

Свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности:

Откуда:

Ответ: .

Оценка расположения корней уравнения

Теперь разберем задачи, где нужно оценить расположение корней уравнения. Начнем с линейных уравнений в общем виде. Пусть для линейного уравнения  нужно найти такие значения параметров, при которых корень уравнения будет больше некоторого значения . Конечно, можно найти полное решение уравнения с параметром, чтобы ответить на этот вопрос. Но можно сделать и по-другому.

Преобразуем уравнение  к виду:

Тогда корень уравнения – это нуль функции . В зависимости от знака  возможны  варианта расположения графика, при которых нуль функции будет больше  (см. рис. 3).

Рис. 3. Два возможных варианта расположения графика

Обратите внимание: при  значение функции в точке  будет отрицательным: , при  – положительным: . Это можно записать одним неравенством: .

Итак, мы получили условие, при котором корень уравнения  больше :

Аналогичным образом можно получить условие, при котором корень уравнения будет меньше :

Используя эти готовые результаты, можно быстро решать задачи следующего вида.

 

Задание 6. При каких значениях параметра  корень уравнения  больше ?

Решение

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Видим, что коэффициент при  равен . Значение соответствующей функции в точке :

Корень уравнения будет больше  при условии:

При решении методом интервалов (см. рис. 4) получим ответ:

Рис. 4. Иллюстрация к заданию 6

Можно решить это задание и проверенным способом. Рассмотреть отдельно случай при :

Неверное равенство, корней у уравнения нет.

Если , то корнем уравнения будет:

Осталось решить неравенство:

Получаем неравенство:

Решая его методом интервалов, получим тот же промежуток:

Этот способ более универсальный: для его использования не надо практически ничего запоминать.

Ответ: .

Используя аналогичный подход, можно оценить и расположение корней квадратного уравнения. Рассмотрим условие, при котором один из корней квадратного уравнения  больше некоторого значения , а другой – меньше.

Снова обратимся к графику. Решение уравнение – это нули функции . Возможны лишь  варианта, при которых нули будут располагаться по разные стороны от числа  (см. рис. 5).

Рис. 5. Два варианта расположения графика

Снова обращаем внимание: при, , при , . То есть:

Рассматривая расположения параболы, которые уже не будут удовлетворять условию задачи, можно убедиться, что  в каждом из случаев будет больше или равно .

Итак, мы получили вывод: корни уравнения  лежат по разные стороны от числа  тогда и только тогда, когда .

 

Задание 7. Найти значения параметра , при которых один из корней уравнения  больше , другой – меньше.

Решение

Рассмотрим отдельно случай  (уравнение не будет квадратным):

Корней нет, не удовлетворяет условию.

При  получаем: коэффициент при  равен . Значение соответствующей функции в точке :

Получаем неравенство:

Решая его методом интервалов (см. рис. 6), получаем ответ:

Рис. 6. Иллюстрация к заданию 7

Ответ: .

О других вариантах расположения корней вы можете узнать из ответвления.

---

 

Когда корни квадратного уравнения больше или меньше некоторого числа

Рассматривая различные положения параболы , можно убедиться, что соотношение  выполняется тогда и только тогда, когда нули функции лежат по разные стороны от числа t. В остальных случаях будет выполняться неравенство:

Посмотрим, какие это могут быть случаи:

1. Функция не имеет нулей (см. рис. 7).

Рис. 7. Функция не имеет нулей

2. Нули функции больше числа  (см. рис. 8).

Рис. 8. Нули функции больше числа t

3. Нули функции меньше числа  (см. рис. 9).

Рис. 9. Нули функции меньше числа t

Отличить эти случаи легко: в первом случае дискриминант отрицательный, во втором и третьем – положительный. При этом если нули больше , то вершина параболы будет правее по оси , чем ; если меньше – левее. Получаем следующие условия для расположения корней.

Оба корня квадратного уравнения  больше числа  тогда и только тогда, когда выполнены неравенства:

Оба корня квадратного уравнения  меньше числа  тогда и только тогда, когда выполнены неравенства:

---

 

Оценка количества корней уравнения

Иногда в задачах могут возникнуть ситуации, когда нам не обязательно знать значения корней, а нужно найти лишь их количество. В таком случае нам поможет графический метод решения.

 

Задание 8. Найти количество решений системы уравнений для всех положительных значений параметра :

Решение

Построим графики уравнений. График второго мы можем построить однозначно – это прямая, параллельная оси y. График первого уравнения – это окружность с центром в начале координат и радиусом  (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 8

Тогда:

1. При  окружность не будет пересекать прямую – система не будет иметь решений.
2. При  окружность будет касаться прямой – система будет иметь одно решение.
3. При  окружность будет пересекать прямую и получим  решения.

Ответ: при : нет решений; при : одно решение; при : два решения.

 

Задание 9. При каких значениях параметра  система уравнений имеет ровно  решение:

Решение

График первого уравнения – окружность с центром в начале координат и радиусом  (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 9

Чтобы построить график второго уравнения, свернем по формуле полный квадрат:

Это окружность с центром в точке  и радиусом  (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию 9

Чтобы система имела  решение, окружности должны касаться. С учетом того, что центр второй окружности лежит на оси , получаем  возможных варианта (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к заданию 9

Координаты центра окружности в каждом из случаев:

Ответ: .

 

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал solverbook.com (Источник)
3. Интернет-портал «открытыйурок.рф» (Источник)

 

Домашнее задание

1. При каких значениях параметра  неравенство  выполняется при всех действительных значениях ?
2. Сколько решений имеет система уравнений  в зависимости от значения параметра ?
3. При каких значениях параметра  корни уравнения  отрицательны?