Задача 1
Пристани и
находятся ниже пристани
по течению реки соответственно на 30 и 45 км. Моторная лодка отошла от пристани
, дошла до
, сразу повернула назад и дошла до
, затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани
, дошла до
, сразу повернула назад и пришла в
, затратив на весь путь 7 часов. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?
Дано:
Расстояние: ;
;
(см. Рис. 1).
1 рейс лодки: – время
.
2 рейс лодки: – время 7 ч.
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Найти: собственная скорость лодки и скорость течения реки.
Решение
1. Пусть – это собственная скорость лодки;
– скорость течения реки. Следовательно, скорость лодки по течению –
, против течения –
.
Рейс 1:
а) Из в
лодка шла по течению 45 км:
Следовательно, время пути составило:
б) Из в
лодка шла против течения 15 км:
Следовательно, время пути составило:
в) Общее время в пути для первого рейса составило:
По условию это время составило :
Рейс 2:
а) Из в
лодка шла против течения 45 км:
Следовательно, время пути составило:
б) Из в
лодка шла по течению 30 км:
Следовательно, время пути составило:
в) Общее время в пути для второго рейса составило:
По условию это время составило :
Получили систему уравнений относительно и
:
2) Решим полученную систему:
Произведем замену переменных: ;
Вернемся к старым переменным:
Выполнив проверку, получаем, что данная пара является решением системы. Кроме того, такие значения переменных подходят нам по смыслу задачи.
Ответ: Собственная скорость лодки – , скорость течения реки –
.
Задача 2
Решить графически систему уравнений: .
Решение
Функция существует при
, поэтому все решения данной системы необходимо искать при
.
Решением первого уравнения являются все точки, которые расположены на ветви параболы при (см. Рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Решением второго уравнения являются все точки, расположенные на ветви параболы (см. Рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Объединим графики двух уравнений (см. Рис. 4). Видно, что данные ветви параболы пересекаются в точках и
.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Других решений данная система не имеет, так как графики имеют разную выпуклость:
– выпуклая вниз при
– выпуклая верх при
Ответ: ;
.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.
3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт free.megacampus.ru (Источник)
2. Интернет-сайт YouTube (Источник)
3. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)
Домашнее задание
1. Задачи 5.34 (б), 7.1, 7.37 (стр. 40–50) – Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник (Источник)
2. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций и
, расстояние между которыми 600 км. Первый из них приходит на станцию
на 3 ч раньше, чем второй на станцию
. В то время как первый проходит 250 км, второй пройдет 200 км. Найти скорость каждого поезда.